kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 【基础篇】第3题（填空题） 3．设函数 $f(u)$ 可导，$z=y f\left(x^{y^{2}}\right)$ ，则 $\displaystyle 2 x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
好的，我们先根据题目条件一步步来推导。题目中给出的函数是
$$ z = y f\left(x^{y^{2}}\right) $$ 其中 $ f $ 可导。我们需要计算 $$ 2x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} $$ 并化简。
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**第一步：求 $\frac{\partial z}{\partial x}$**
令 $ u = x^{y^{2}} $，则 $$ z = y f(u) $$ 对 $x$ 求偏导时，$y$ 视为常数： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot f'(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial x} $$ 而 $$ u = x^{y^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial u}{\partial x} = y^{2} x^{y^{2} - 1} $$ 所以 $$ \frac{\partial z}{\partial x} = y f'(u) \cdot y^{2} x^{y^{2} - 1} = y^{3} x^{y^{2} - 1} f'(x^{y^{2}}) $$
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**第二步：求 $\frac{\partial z}{\partial y}$**
这里 $z = y f(u)$，对 $y$ 求偏导要用乘法法则： $$ \frac{\partial z}{\partial y} = f(u) + y \cdot f'(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial y} $$ 而 $$ u = x^{y^{2}} = e^{y^{2} \ln x} $$ 所以 $$ \frac{\partial u}{\partial y} = x^{y^{2}} \cdot 2y \ln x $$ 因此 $$ \frac{\partial z}{\partial y} = f(x^{y^{2}}) + y \cdot f'(x^{y^{2}}) \cdot (2y \ln x \cdot x^{y^{2}}) $$ 即 $$ \frac{\partial z}{\partial y} = f(x^{y^{2}}) + 2y^{2} x^{y^{2}} \ln x \cdot f'(x^{y^{2}}) $$
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**第三步：代入表达式**
先算 $2x \frac{\partial z}{\partial x}$： $$ 2x \cdot \left( y^{3} x^{y^{2} - 1} f'(x^{y^{2}}) \right) = 2 y^{3} x^{y^{2}} f'(x^{y^{2}}) $$
再算 $y \frac{\partial z}{\partial y}$： $$ y \cdot \left[ f(x^{y^{2}}) + 2y^{2} x^{y^{2}} \ln x \cdot f'(x^{y^{2}}) \right] = y f(x^{y^{2}}) + 2 y^{3} x^{y^{2}} \ln x \cdot f'(x^{y^{2}}) $$
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**第四步：相加**
$$ 2x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = 2 y^{3} x^{y^{2}} f'(x^{y^{2}}) + y f(x^{y^{2}}) + 2 y^{3} x^{y^{2}} \ln x \cdot f'(x^{y^{2}}) $$
提取公因式 $2 y^{3} x^{y^{2}} f'(x^{y^{2}})$ 的第一项和第三项： $$ = y f(x^{y^{2}}) + 2 y^{3} x^{y^{2}} f'(x^{y^{2}}) (1 + \ln x) $$
注意这里 $x^{y^{2}} = u$，而原题没有更多条件，所以这个形式就是最终化简结果。不过我们观察一下，如果题目期望一个更简洁的答案，往往这种题的结果正好等于 $z$ 本身或者其倍数。我们检查一下： $z = y f(u)$，而这里第一项就是 $z$，但后面还有一项。所以不是简单等于 $z$。
我们再看看是否有恒等式可化简。其实这里 $1+\ln x$ 不能进一步消掉，所以保留即可。
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因此最终答案为：
**答案**： $$ y f(x^{y^{2}}) + 2 y^{3} x^{y^{2}} (1+\ln x) f'(x^{y^{2}}) $$
**解析**：先分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导，再代入组合表达式，合并同类项得到结果。
**难度**：★☆☆☆☆