kaoyan1basic 高等数学 第4题
📝 题目
### 【基础篇】第4题（填空题） 4．设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $(x+1) z+2 y \ln z-\arctan (x y)=1$ 确定，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,2)}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：将$(0,2)$代入方程得$(0+1)z+2\cdot2\ln z-\arctan0=1$，即$z+4\ln z=1$，解得$z=1$。 步骤2：方程两边对$x$求偏导，$\displaystyle z+(x+1)z_x+2y\cdot\frac{z_x}{z}-\frac{y}{1+(xy)^2}=0$。 步骤3：代入$(0,2,1)$，$1+1\cdot z_x+4\cdot z_x-2=0$，得$5z_x-1=0$，故$\displaystyle z_x=\frac{1}{5}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定隐函数在给定点处的函数值
将点 (0,2) 代入原方程 (x+1)z + 2y ln z - arctan(xy) = 1，得到 (0+1)z + 2*2 ln z - arctan(0) = 1，即 z + 4 ln z = 1。解此方程得 z = 1。
公式：代入法
提示：注意 ln z 的定义域，z>0，且通过观察或试根可得 z=1 是解。
步骤 2/3
目标：对原方程两边关于 x 求偏导
将方程 (x+1)z + 2y ln z - arctan(xy) = 1 两边对 x 求偏导，视 z 为 x,y 的函数。得到：z + (x+1) ∂z/∂x + 2y * (1/z) ∂z/∂x - [y/(1+(xy)^2)] = 0。
公式：隐函数求导法则
提示：注意 (x+1)z 对 x 求导时，使用乘积法则；ln z 对 x 求导得 (1/z) ∂z/∂x；arctan(xy) 对 x 求导得 y/(1+(xy)^2)。
步骤 3/3
目标：代入已知点求解偏导数值
将 (x,y,z) = (0,2,1) 代入上一步得到的方程：1 + (0+1) ∂z/∂x + 2*2 * (1/1) ∂z/∂x - [2/(1+0)] = 0，即 1 + ∂z/∂x + 4 ∂z/∂x - 2 = 0，化简得 5 ∂z/∂x - 1 = 0，所以 ∂z/∂x = 1/5。
公式：代入法
提示：注意代入时各项的数值计算要准确，特别是 arctan 项。
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