kaoyan1basic 高等数学 第4题
📝 题目
### 【强化篇】第4题（解答题） 4．若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点的某个邻域内有定义，$f(0,0)=0$ ，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=a$ ，其中 $a$ 为常数． （1）讨论函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点的连续性； （2）当 $a$ 为何值时，函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可微？并求 $\left.\mathrm{d} f\right|_{(0,0)}$ ．
💡 答案解析
**答案**：（1）连续；（2）$a=1$时，$\left.\mathrm{d}f\right|_{(0,0)}=0$ **解析**： （1）由$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}=a$得$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0)$，故连续。 （2）$f(x,y)=(a+1)\sqrt{x^2+y^2}+o(\sqrt{x^2+y^2})$，可微要求线性部分存在，即$a+1=0$时$f(x,y)=o(\sqrt{x^2+y^2})$，此时$f_x(0,0)=0$，$f_y(0,0)=0$，$\mathrm{d}f=0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用极限定义证明连续性
由已知极限，将极限式变形：f(x,y) = (a+1)√(x^2+y^2) + o(√(x^2+y^2))。取极限得lim_{(x,y)→(0,0)} f(x,y) = 0 = f(0,0)，故连续。
公式：lim_{(x,y)→(0,0)} f(x,y) = 0
提示：注意极限表达式可改写为f(x,y) = (a+1)√(x^2+y^2) + o(√(x^2+y^2))，从而直接看出极限。
步骤 2/3
目标：讨论可微性条件
函数在(0,0)可微当且仅当存在常数A,B使得f(x,y) = f(0,0) + Ax + By + o(√(x^2+y^2))。由第一步知f(x,y) = (a+1)√(x^2+y^2) + o(√(x^2+y^2))，比较得线性部分必须为零，即a+1=0，此时A=B=0。
公式：f(x,y) = (a+1)√(x^2+y^2) + o(√(x^2+y^2))
提示：可微要求线性主部存在，而√(x^2+y^2)不是线性函数，故其系数必须为零。
步骤 3/3
目标：确定a值并求微分
由a+1=0得a=-1，此时f(x,y)=o(√(x^2+y^2))，故f_x(0,0)=0，f_y(0,0)=0，微分df=0。
公式：df|_{(0,0)} = 0
提示：注意a=-1时，f(x,y)是√(x^2+y^2)的高阶无穷小，因此偏导数为0。
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