kaoyan1basic 高等数学 第5题
📝 题目
### 【基础篇】第5题（填空题） 5．设 $F(x, y)=\int_{0}^{x-y}(x-y-t) \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$2\mathrm{e}^{x-y}-2$ **解析**： 步骤1：$F(x,y)=\int_0^{x-y}(x-y-t)\mathrm{e}^t\mathrm{d}t$，令$u=x-y$，则$F=\int_0^u(u-t)\mathrm{e}^t\mathrm{d}t$。 步骤2：计算得$F=u\mathrm{e}^u-\int_0^u t\mathrm{e}^t\mathrm{d}t=u\mathrm{e}^u-(u\mathrm{e}^u-\mathrm{e}^u+1)=\mathrm{e}^u-1$。 步骤3：$\displaystyle \frac{\partial^2F}{\partial x^2}=\mathrm{e}^{x-y}$，$\displaystyle \frac{\partial^2F}{\partial y^2}=\mathrm{e}^{x-y}$，和为$2\mathrm{e}^{x-y}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简被积函数，引入变量代换
令 u = x - y，则 F(x, y) = ∫₀ᵘ (u - t) eᵗ dt。
公式：u = x - y
提示：注意积分变量为 t，x 和 y 视为常数。
步骤 2/4
目标：计算积分 F(u)
F(u) = ∫₀ᵘ (u - t) eᵗ dt = u∫₀ᵘ eᵗ dt - ∫₀ᵘ t eᵗ dt = u(eᵘ - 1) - (u eᵘ - eᵘ + 1) = eᵘ - 1。
公式：∫₀ᵘ eᵗ dt = eᵘ - 1; ∫₀ᵘ t eᵗ dt = (t-1)eᵗ|₀ᵘ = u eᵘ - eᵘ + 1
提示：分部积分法求 ∫ t eᵗ dt。
步骤 3/4
目标：回代并求二阶偏导数
F(x, y) = e^(x-y) - 1。则 ∂F/∂x = e^(x-y)，∂²F/∂x² = e^(x-y)；∂F/∂y = -e^(x-y)，∂²F/∂y² = e^(x-y)。
公式：∂²F/∂x² = e^(x-y); ∂²F/∂y² = e^(x-y)
提示：注意链式法则，∂/∂y e^(x-y) = -e^(x-y)，二阶导时负号抵消。
步骤 4/4
目标：求和得结果
∂²F/∂x² + ∂²F/∂y² = e^(x-y) + e^(x-y) = 2e^(x-y)。
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