kaoyan1basic 高等数学 第5题
📝 题目
### 【强化篇】第5题（解答题） 5．设函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$ 回答以下问题，并说明理由： （1）函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处是否连续？ （2）函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的两个一阶偏导数是否存在？若存在，求出这两个偏导数． （3）函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处是否可微？若可微，求出函数的微分．
💡 答案解析
**答案**：（1）连续；（2）$f_x(0,0)=1$，$f_y(0,0)=1$；（3）不可微 **解析**： （1）$\displaystyle |f(x,y)|\leq\frac{|x|^3+|y|^3}{x^2+y^2}\leq|x|+|y|\to0$，故连续。 （2）$\displaystyle f_x(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{x^3}{x^2}/x=1$，同理$f_y(0,0)=1$。 （3）$\displaystyle \lim_{\rho\to0}\frac{f(x,y)-x-y}{\rho}=\lim_{\rho\to0}\frac{-xy(x+y)}{\rho(x^2+y^2)}$，沿$y=x$趋于0时极限不为0，故不可微。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：判断连续性
考虑极限lim_{(x,y)→(0,0)} f(x,y)。由于|f(x,y)| = |x^3+y^3|/(x^2+y^2) ≤ |x|^3/(x^2+y^2) + |y|^3/(x^2+y^2) ≤ |x| + |y| → 0，所以极限为0，等于f(0,0)=0，故连续。
公式：|f(x,y)| ≤ |x| + |y|
提示：利用不等式放缩，将分子拆开，并注意|x|^3/(x^2+y^2) ≤ |x|
步骤 2/3
目标：求一阶偏导数
由定义：f_x(0,0) = lim_{x→0} [f(x,0)-f(0,0)]/x = lim_{x→0} (x^3/x^2)/x = lim_{x→0} x/x = 1。同理，f_y(0,0) = lim_{y→0} [f(0,y)-f(0,0)]/y = 1。
公式：f_x(0,0)=lim_{x→0} (f(x,0)-0)/x
提示：偏导数的定义，注意f(x,0)=x^3/x^2=x
步骤 3/3
目标：判断可微性
若可微，则全微分df = f_x(0,0)dx + f_y(0,0)dy = dx+dy。考虑增量Δf = f(x,y)-f(0,0) = (x^3+y^3)/(x^2+y^2)。考察极限lim_{ρ→0} [Δf - (x+y)]/ρ，其中ρ=√(x^2+y^2)。计算得分子为(x^3+y^3)/(x^2+y^2) - (x+y) = -xy(x+y)/(x^2+y^2)。沿y=x趋于0时，该极限为lim_{x→0} [-x^2(2x)]/(2x^2 * √2|x|) = lim_{x→0} -x/(√2|x|) 不存在（左右极限不等），故不可微。
公式：Δf - (x+y) = -xy(x+y)/(x^2+y^2)
提示：可微的判定：检查极限lim_{ρ→0} [Δf - f_x(0,0)x - f_y(0,0)y]/ρ是否为0。若沿不同路径极限不同，则不可微。
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