kaoyan1basic 高等数学 第6题
📝 题目
### 【基础篇】第6题（填空题） 6．设函数 $f(x, \sin x)=x+\sin x, f_{x}^{\prime}(x, y)=1+2 \cos x$ ，则 $\left.f_{y}^{\prime}(x, y)\right|_{y=\sin x}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$1$ **解析**： 步骤1：$f(x,\sin x)=x+\sin x$，两边对$x$求导得$f_x'+f_y'\cos x=1+\cos x$。 步骤2：代入$f_x'=1+2\cos x$，得$1+2\cos x+f_y'\cos x=1+\cos x$，故$f_y'\cos x=-\cos x$，即$f_y'=-1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：对已知等式两边求导
已知 f(x, sin x) = x + sin x，两边对 x 求导，利用链式法则得 f_x' + f_y' * cos x = 1 + cos x。
公式：f_x' + f_y' * cos x = 1 + cos x
提示：注意 f(x, sin x) 是复合函数，对 x 求导时 f_y' 要乘以 sin x 的导数 cos x。
步骤 2/3
目标：代入已知条件
已知 f_x'(x, y) = 1 + 2 cos x，代入上一步得到的等式：1 + 2 cos x + f_y' * cos x = 1 + cos x。
公式：1 + 2 cos x + f_y' cos x = 1 + cos x
提示：代入时注意 f_x' 是 x 和 y 的函数，但此处 y = sin x，而 f_x' 表达式中不含 y，所以直接代入。
步骤 3/3
目标：解出 f_y'
化简等式：1 + 2 cos x + f_y' cos x = 1 + cos x，两边消去 1，得 2 cos x + f_y' cos x = cos x，移项得 f_y' cos x = -cos x，所以 f_y' = -1。
公式：f_y' cos x = -cos x ⇒ f_y' = -1
提示：注意 cos x 可能为 0，但此处作为恒等式，可约去。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。