kaoyan1basic 高等数学 第6题
📝 题目
### 【强化篇】第6题（选择题） 6．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{x^{2}+y^{2}} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 $(\quad)$ 。 （A）两个偏导数都存在，函数也连续 （B）两个偏导数都存在，但函数不连续 （C）偏导数不存在，但函数连续 （D）偏导数不存在，函数也不连续
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$|f(x,y)|\leq\sqrt{x^2+y^2}\to0$，故连续。 步骤2：$\displaystyle f_x(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{|x|\sin(1/x^2)}{x}=0$（有界乘无穷小），同理$f_y(0,0)=0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：判断函数在(0,0)处的连续性
由于|f(x,y)| ≤ √(x²+y²) → 0 (当(x,y)→(0,0))，且f(0,0)=0，故f(x,y)在(0,0)处连续。
公式：|f(x,y)| ≤ √(x²+y²)
提示：利用夹逼准则，有界函数乘以无穷小仍为无穷小。
步骤 2/3
目标：计算偏导数f_x(0,0)
f_x(0,0) = lim_{x→0} [f(x,0)-f(0,0)]/x = lim_{x→0} (|x| sin(1/x²))/x = lim_{x→0} (|x|/x) sin(1/x²)。由于| |x|/x | ≤ 1，且sin(1/x²)有界，故极限为0。
公式：f_x(0,0) = lim_{x→0} (|x| sin(1/x²))/x = 0
提示：注意|x|/x的符号变化，但乘以有界量后极限仍为0。
步骤 3/3
目标：计算偏导数f_y(0,0)
由对称性，f_y(0,0) = lim_{y→0} [f(0,y)-f(0,0)]/y = lim_{y→0} (|y| sin(1/y²))/y = 0。
公式：f_y(0,0) = 0
提示：与f_x类似，利用有界乘无穷小。
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