kaoyan1basic 高等数学 第7题
📝 题目
### 【基础篇】第7题（填空题） 7．设函数 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2}[f(x, y)]}{\partial x \partial y}=1, f(0, y)=\sin y, f(x, 0)= \sin x$ ，则 $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．公众号：研池大叔 免费分享最新考研资料课程
💡 答案解析
**答案**：$2$ **解析**： 步骤1：由$\displaystyle \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=1$，积分得$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=x+g(y)$。 步骤2：再积分得$f(x,y)=xy+G(y)+h(x)$。 步骤3：由$f(0,y)=\sin y$得$G(y)=\sin y$；由$f(x,0)=\sin x$得$h(x)=\sin x$。故$f(x,y)=xy+\sin x+\sin y$，代入得$\displaystyle f(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})=\frac{\pi^2}{4}+2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：由混合偏导数条件得到一阶偏导表达式
已知 ∂²f/(∂x∂y)=1，对 x 积分得 ∂f/∂y = x + g(y)，其中 g(y) 是 y 的任意函数。
公式：∂f/∂y = x + g(y)
提示：积分时注意将 y 视为常数，积分后出现关于 y 的任意函数。
步骤 2/4
目标：积分得到 f(x,y) 的一般形式
对 ∂f/∂y = x + g(y) 关于 y 积分，得 f(x,y) = xy + G(y) + h(x)，其中 G(y) 是 g(y) 的原函数，h(x) 是 x 的任意函数。
公式：f(x,y) = xy + G(y) + h(x)
提示：积分后出现关于 x 的任意函数 h(x)，因为对 y 积分时 x 视为常数。
步骤 3/4
目标：利用边界条件确定函数形式
由 f(0,y) = sin y 代入得 0·y + G(y) + h(0) = sin y，即 G(y) + h(0) = sin y，取 h(0)=0 则 G(y)=sin y。由 f(x,0)=sin x 代入得 x·0 + G(0) + h(x) = sin x，即 G(0) + h(x) = sin x，由 G(0)=sin0=0 得 h(x)=sin x。因此 f(x,y)=xy + sin x + sin y。
公式：f(x,y) = xy + sin x + sin y
提示：注意常数项的处理，通常可设 h(0)=0 简化。
步骤 4/4
目标：计算目标点的函数值
代入 x=π/2, y=π/2 得 f(π/2, π/2) = (π/2)*(π/2) + sin(π/2) + sin(π/2) = π²/4 + 1 + 1 = π²/4 + 2。
公式：f(π/2, π/2) = π²/4 + 2
提示：注意 sin(π/2)=1。
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