kaoyan1basic 高等数学 第7题
📝 题目
### 【强化篇】第7题（填空题） 7．设函数 $z=f(x, y)$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(1,0)} \frac{f(x, y)-3 x+y+5}{(x-1)^{2}+y^{2}}=\frac{1}{4}$ ，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(1,0)}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$3\mathrm{d}x-\mathrm{d}y$ **解析**： 步骤1：由极限知$f(1,0)=3\cdot1-0+5=8$，且$\displaystyle f(x,y)=3x-y+5+\frac{1}{4}[(x-1)^2+y^2]+o(\rho^2)$。 步骤2：线性部分为$3\mathrm{d}x-\mathrm{d}y$，故$\mathrm{d}z|_{(1,0)}=3\mathrm{d}x-\mathrm{d}y$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定函数在点(1,0)处的函数值
由极限存在且分母趋于0，可知分子也趋于0，即f(1,0)-3*1+0+5=0，解得f(1,0)=8。
公式：lim_{(x,y)→(1,0)} (f(x,y)-3x+y+5)=0 ⇒ f(1,0)=8
提示：利用极限性质：分母趋于0时，分子也趋于0。
步骤 2/3
目标：写出函数在点(1,0)附近的展开式
由极限等式，将f(x,y)表示为f(x,y)=3x-y+5+ (1/4)[(x-1)^2+y^2] + o(ρ^2)，其中ρ=√[(x-1)^2+y^2]。
公式：f(x,y)=f(1,0)+f_x(1,0)(x-1)+f_y(1,0)(y-0)+o(ρ)，比较得线性部分系数。
提示：注意极限表达式与全微分定义的联系。
步骤 3/3
目标：提取全微分表达式
展开式中的线性部分为3(x-1) - y，即f_x(1,0)=3，f_y(1,0)=-1，故全微分为dz|_{(1,0)}=3dx - dy。
公式：dz = f_x dx + f_y dy
提示：全微分是线性主部，忽略高阶项。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。