kaoyan1basic 高等数学 第8题
📝 题目
### 【基础篇】第8题（填空题） 8．设 $\displaystyle f\left(x+y, \frac{x}{y}\right)=x^{2}-x y+y^{2}$ ，则 $f_{x}^{\prime}(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{2x-2y}{1+y}$ **解析**： 步骤1：令$u=x+y$，$\displaystyle v=\frac{x}{y}$，则$\displaystyle x=\frac{uv}{1+v}$，$\displaystyle y=\frac{u}{1+v}$。 步骤2：$\displaystyle f(u,v)=x^2-xy+y^2=\left(\frac{uv}{1+v}\right)^2-\frac{uv}{1+v}\cdot\frac{u}{1+v}+\left(\frac{u}{1+v}\right)^2=\frac{u^2(v^2-v+1)}{(1+v)^2}$。 步骤3：$\displaystyle f_x'(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2x-2y}{1+y}$（将$u,v$换回）。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：引入中间变量u和v，将原函数表达式转化为关于u和v的形式
令 u = x + y，v = x / y。则解出 x = uv / (1+v)，y = u / (1+v)。
公式：x = uv/(1+v), y = u/(1+v)
提示：注意分母不为零，y≠0。
步骤 2/3
目标：将f(u,v)表示为u和v的函数
代入x和y到f(u,v)=x^2 - xy + y^2，化简得 f(u,v) = u^2(v^2 - v + 1)/(1+v)^2。
公式：f(u,v) = u^2(v^2 - v + 1)/(1+v)^2
提示：化简时注意合并同类项。
步骤 3/3
目标：求f对x的偏导数，并还原为x,y
由于f是复合函数，f_x' = ∂f/∂x = (∂f/∂u)(∂u/∂x) + (∂f/∂v)(∂v/∂x)。计算得 ∂f/∂u = 2u(v^2-v+1)/(1+v)^2，∂f/∂v = u^2(2v-1)/(1+v)^2 - 2u^2(v^2-v+1)/(1+v)^3，∂u/∂x=1，∂v/∂x=1/y。代入并化简，最后将u,v换回x,y得 f_x'(x,y) = (2x-2y)/(1+y)。
公式：f_x'(x,y) = (2x-2y)/(1+y)
提示：偏导计算时注意链式法则，最后化简要仔细。
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