kaoyan1basic 高等数学 第8题
📝 题目
### 【强化篇】第8题（填空题） 8．设函数 $f(u, v)$ 具有连续偏导数，$z=f(x y, x+y)$ ．若 $\left.\mathrm{d} z\right|_{\substack{x=2 \\ y=3}}=6 \mathrm{~d} x+5 \mathrm{~d} y$ ，则 $f_{u}^{\prime}(6,5)+ f_{v}^{\prime}(6,5)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$2$ **解析**： 步骤1：$z=f(xy,x+y)$，$\mathrm{d}z=f_u'(y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y)+f_v'(\mathrm{d}x+\mathrm{d}y)$。 步骤2：代入$x=2,y=3$得$\mathrm{d}z=(3f_u'+f_v')\mathrm{d}x+(2f_u'+f_v')\mathrm{d}y=6\mathrm{d}x+5\mathrm{d}y$。 步骤3：解方程组$\begin{cases}3f_u'+f_v'=6\\2f_u'+f_v'=5\end{cases}$，得$f_u'=1$，$f_v'=3$，故和为$4$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出全微分表达式
设 z = f(xy, x+y)，则 dz = f_u' d(xy) + f_v' d(x+y) = f_u'(y dx + x dy) + f_v'(dx + dy)。
公式：dz = f_u'(y dx + x dy) + f_v'(dx + dy)
提示：注意复合函数求导法则，中间变量为 u=xy, v=x+y。
步骤 2/3
目标：代入给定点 (x=2, y=3)
代入 x=2, y=3 得：dz = (3 f_u' + f_v') dx + (2 f_u' + f_v') dy。已知 dz = 6 dx + 5 dy，因此有方程组：3 f_u' + f_v' = 6，2 f_u' + f_v' = 5。
公式：3 f_u' + f_v' = 6, 2 f_u' + f_v' = 5
提示：注意 f_u' 和 f_v' 在点 (6,5) 处取值。
步骤 3/3
目标：解方程组求偏导数值
两式相减得 f_u' = 1，代入得 f_v' = 3。因此 f_u'(6,5) + f_v'(6,5) = 1 + 3 = 4。
公式：f_u' = 1, f_v' = 3
提示：注意题目要求的是和，不是单个值。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。