kaoyan1basic 高等数学 第9题
📝 题目
### 【强化篇】第9题（填空题） 9．设函数 $z=f(x, y)(x y \neq 0)$ 满足 $\displaystyle f\left(x y, \frac{y}{x}\right)=y^{2}\left(x^{2}-1\right)$ ，则 $\mathrm{d} z=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{y}{x}\mathrm{d}x+\left(2y\ln x-\frac{y}{x^2}\right)\mathrm{d}y$ **解析**： 步骤1：令$u=xy$，$\displaystyle v=\frac{y}{x}$，则$\displaystyle x=\sqrt{\frac{u}{v}}$，$y=\sqrt{uv}$。 步骤2：$\displaystyle f(u,v)=y^2(x^2-1)=uv\left(\frac{u}{v}-1\right)=u^2-uv$。 步骤3：$\displaystyle z=f(xy,\frac{y}{x})=x^2y^2-xy\cdot\frac{y}{x}=x^2y^2-y^2$，故$\mathrm{d}z=2xy^2\mathrm{d}x+(2x^2y-2y)\mathrm{d}y$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入中间变量简化函数关系
令 u = xy, v = y/x，则原方程变为 f(u, v) = y^2(x^2 - 1)。
公式：u = xy, v = y/x
提示：注意 x y ≠ 0，保证变换有效。
步骤 2/5
目标：用 u, v 表示 x, y
由 u = xy 和 v = y/x 解得 x = sqrt(u/v), y = sqrt(uv)。
公式：x = sqrt(u/v), y = sqrt(uv)
提示：开方取正，因为 x y ≠ 0，但符号不影响最终结果。
步骤 3/5
目标：将 f(u, v) 表达式用 u, v 表示
代入 y^2 = uv, x^2 = u/v，得 f(u, v) = uv * (u/v - 1) = u^2 - uv。
公式：f(u, v) = u^2 - uv
提示：化简时注意代数运算。
步骤 4/5
目标：得到 z 关于 x, y 的表达式
由于 z = f(xy, y/x) = f(u, v)，且 u = xy, v = y/x，代入 f 表达式得 z = (xy)^2 - (xy)*(y/x) = x^2 y^2 - y^2。
公式：z = x^2 y^2 - y^2
提示：注意 (xy)*(y/x) = y^2。
步骤 5/5
目标：求全微分 dz
对 z = x^2 y^2 - y^2 求偏导：∂z/∂x = 2x y^2，∂z/∂y = 2x^2 y - 2y，所以 dz = 2x y^2 dx + (2x^2 y - 2y) dy。
公式：dz = 2xy^2 dx + (2x^2 y - 2y) dy
提示：注意对 y 求偏导时 x 视为常数。
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