kaoyan1basic 高等数学 第10题
📝 题目
### 【强化篇】第10题（填空题） 10．设函数 $f(x, y)=\int_{0}^{x y} \mathrm{e}^{x t^{2}} \mathrm{~d} t$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$3\mathrm{e}$ **解析**： 步骤1：$f(x,y)=\int_0^{xy}\mathrm{e}^{xt^2}\mathrm{d}t$，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=y\mathrm{e}^{x(xy)^2}+\int_0^{xy}t^2\mathrm{e}^{xt^2}\mathrm{d}t$。 步骤2：$\displaystyle \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=\mathrm{e}^{x^3y^2}+y\cdot2x^3y\mathrm{e}^{x^3y^2}+x^2y^2\mathrm{e}^{x^3y^2}$。 步骤3：代入$(1,1)$得$\mathrm{e}+2\mathrm{e}+\mathrm{e}=4\mathrm{e}$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算一阶偏导数 ∂f/∂x
f(x,y)=∫_0^{xy} e^{x t^2} dt，利用含参积分求导公式：∂f/∂x = e^{x (xy)^2} * y + ∫_0^{xy} t^2 e^{x t^2} dt = y e^{x^3 y^2} + ∫_0^{xy} t^2 e^{x t^2} dt。
公式：d/dx ∫_0^{u(x)} g(x,t) dt = g(x,u(x)) u'(x) + ∫_0^{u(x)} ∂g/∂x dt
提示：注意积分上限是xy，对x求导时上限导数为y；被积函数含x，需对x求偏导。
步骤 2/3
目标：计算混合偏导数 ∂²f/∂x∂y
对∂f/∂x关于y求偏导：∂²f/∂x∂y = ∂/∂y [y e^{x^3 y^2} + ∫_0^{xy} t^2 e^{x t^2} dt] = e^{x^3 y^2} + y * e^{x^3 y^2} * 2x^3 y + (x^2 y^2 e^{x^3 y^2}) = e^{x^3 y^2} + 2x^3 y^2 e^{x^3 y^2} + x^2 y^2 e^{x^3 y^2}。
公式：莱布尼茨公式；链式法则
提示：对y求导时，注意积分上限xy对y的导数为x，被积函数t^2 e^{x t^2}中x视为常数。
步骤 3/3
目标：代入点(1,1)求值
将x=1, y=1代入：e^{1^3*1^2} + 2*1^3*1^2 e^{1^3*1^2} + 1^2*1^2 e^{1^3*1^2} = e + 2e + e = 4e。
提示：注意指数计算：x^3 y^2 = 1。
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