kaoyan1basic 高等数学 第11题
📝 题目
### 【基础篇】第11题（填空题） 11．函数 $z=x^{y}$ 在点 $(1,2)$ 处的全微分为 $\mathrm{d} z=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$2\mathrm{d}x+\mathrm{d}y$ **解析**： 步骤1：$z=x^y$，$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=yx^{y-1}$，$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=x^y\ln x$。 步骤2：代入$(1,2)$得$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=2\cdot1^{1}=2$，$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=1^2\ln1=0$。 步骤3：$\mathrm{d}z=2\mathrm{d}x+0\cdot\mathrm{d}y=2\mathrm{d}x$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算偏导数
函数 z = x^y，对 x 求偏导时，将 y 视为常数，得 ∂z/∂x = y * x^(y-1)；对 y 求偏导时，将 x 视为常数，得 ∂z/∂y = x^y * ln x。
公式：∂z/∂x = y x^(y-1), ∂z/∂y = x^y ln x
提示：注意幂函数与指数函数的求导区别。
步骤 2/3
目标：代入点 (1,2) 求偏导数值
将 x=1, y=2 代入偏导数表达式：∂z/∂x = 2 * 1^(1) = 2；∂z/∂y = 1^2 * ln 1 = 0。
提示：ln 1 = 0，任何数的0次方为1（但此处1^2=1）。
步骤 3/3
目标：写出全微分
全微分公式 dz = (∂z/∂x) dx + (∂z/∂y) dy，代入得 dz = 2 dx + 0 dy = 2 dx。
公式：dz = (∂z/∂x) dx + (∂z/∂y) dy
提示：注意全微分是线性组合，系数为偏导数值。
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