kaoyan1basic 高等数学 第12题
📝 题目
### 【基础篇】第12题（填空题） 12．设 $f$ 具有二阶连续偏导数，且 $u=f\left(x^{2}+y, x y\right)$ ，则 $u_{x y}^{\prime \prime}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$2x f_{11}'' + (2y+2x^2) f_{12}'' + 2xy f_{22}'' + f_2'$ **解析**： 步骤1：令$u=x^2+y$，$v=xy$，则$u_x=2x$，$u_y=1$，$v_x=y$，$v_y=x$。 步骤2：$u_x' = f_1' \cdot 2x + f_2' \cdot y$。 步骤3：$\displaystyle u_{xy}'' = \frac{\partial}{\partial y}(2x f_1' + y f_2') = 2x(f_{11}''\cdot1 + f_{12}''\cdot x) + f_2' + y(f_{21}''\cdot1 + f_{22}''\cdot x)$。 步骤4：由连续性，$f_{12}''=f_{21}''$，整理得$2x f_{11}'' + (2x^2+2y) f_{12}'' + 2xy f_{22}'' + f_2'$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：引入中间变量，简化复合函数结构
令 u = x^2 + y, v = xy，则 u_x = 2x, u_y = 1, v_x = y, v_y = x。
提示：明确中间变量及其偏导数，为链式法则做准备。
步骤 2/4
目标：求一阶偏导数 u_x
根据链式法则，u_x = f_u * u_x + f_v * v_x = f_1' * 2x + f_2' * y。
公式：u_x = 2x f_1' + y f_2'
提示：注意 f_1' 表示 f 对第一个中间变量的偏导，f_2' 表示对第二个中间变量的偏导。
步骤 3/4
目标：对 u_x 求 y 的偏导，得到 u_xy
u_xy = ∂/∂y (2x f_1' + y f_2') = 2x * ∂f_1'/∂y + f_2' + y * ∂f_2'/∂y。其中 ∂f_1'/∂y = f_11'' * u_y + f_12'' * v_y = f_11'' * 1 + f_12'' * x，同理 ∂f_2'/∂y = f_21'' * 1 + f_22'' * x。
公式：u_xy = 2x (f_11'' + x f_12'') + f_2' + y (f_21'' + x f_22'')
提示：注意 f_1' 和 f_2' 仍然是复合函数，需要再次使用链式法则。
步骤 4/4
目标：利用二阶偏导连续性合并项
由于 f 具有二阶连续偏导数，所以 f_12'' = f_21''。代入并整理得：u_xy = 2x f_11'' + (2x^2 + 2y) f_12'' + 2xy f_22'' + f_2'。
公式：u_xy = 2x f_11'' + (2y + 2x^2) f_12'' + 2xy f_22'' + f_2'
提示：合并同类项时注意系数。
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