kaoyan1basic 高等数学 第12题
📝 题目
### 【强化篇】第12题（填空题） 12．设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $\mathrm{e}^{x-2 y+3 z}-2 x \mathrm{e}^{-y} \cos z=1$ 所确定的函数，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{3}(\mathrm{d}x - 2\mathrm{d}y)$ **解析**： 步骤1：方程$e^{x-2y+3z} - 2x e^{-y}\cos z = 1$，令$F(x,y,z)=e^{x-2y+3z} - 2x e^{-y}\cos z -1=0$。 步骤2：求偏导：$F_x = e^{x-2y+3z} - 2e^{-y}\cos z$，$F_y = -2e^{x-2y+3z} + 2x e^{-y}\cos z$，$F_z = 3e^{x-2y+3z} + 2x e^{-y}\sin z$。 步骤3：在$(0,0)$处，代入$z=0$（由原方程得$e^{0}-0=1$成立），得$F_x(0,0,0)=1-2=-1$，$F_y(0,0,0)=-2+0=-2$，$F_z(0,0,0)=3+0=3$。 步骤4：$\displaystyle \mathrm{d}z = -\frac{F_x}{F_z}\mathrm{d}x - \frac{F_y}{F_z}\mathrm{d}y = \frac{1}{3}\mathrm{d}x + \frac{2}{3}\mathrm{d}y$？检查符号：$\displaystyle \mathrm{d}z = -\frac{F_x}{F_z}\mathrm{d}x - \frac{F_y}{F_z}\mathrm{d}y = -\frac{-1}{3}\mathrm{d}x - \frac{-2}{3}\mathrm{d}y = \frac{1}{3}\mathrm{d}x + \frac{2}{3}\mathrm{d}y$。但答案应为$\displaystyle \frac{1}{3}(\mathrm{d}x - 2\mathrm{d}y)$，重新计算$F_y$：$F_y = -2e^{x-2y+3z} + 2x e^{-y}\cos z$，在$(0,0,0)$处为$-2$，所以$\displaystyle \mathrm{d}z = \frac{1}{3}\mathrm{d}x - \frac{-2}{3}\mathrm{d}y?$ 正确应为$\displaystyle \mathrm{d}z = -\frac{F_x}{F_z}\mathrm{d}x - \frac{F_y}{F_z}\mathrm{d}y = \frac{1}{3}\mathrm{d}x - \frac{-2}{3}\mathrm{d}y = \frac{1}{3}\mathrm{d}x + \frac{2}{3}\mathrm{d}y$，与答案不符。检查原题：方程$e^{x-2y+3z} - 2x e^{-y}\cos z = 1$，代入$(0,0)$得$e^{0}=1$，$z=0$。$F_x = e^{x-2y+3z} - 2e^{-y}\cos z$，在$(0,0,0)$为$1-2=-1$；$F_y = -2e^{x-2y+3z} + 2x e^{-y}\cos z$，为$-2$；$F_z = 3e^{x-2y+3z} + 2x e^{-y}\sin z$，为$3$。则$\displaystyle \mathrm{d}z = -\frac{-1}{3}\mathrm{d}x - \frac{-2}{3}\mathrm{d}y = \frac{1}{3}\mathrm{d}x + \frac{2}{3}\mathrm{d}y$。但标准答案给出$\displaystyle \frac{1}{3}(\mathrm{d}x - 2\mathrm{d}y)$，可能符号有误，按计算得$\displaystyle \frac{1}{3}(\mathrm{d}x+2\mathrm{d}y)$。 **难度**：★★★☆☆