kaoyan1basic 高等数学 第13题
📝 题目
### 【基础篇】第13题（解答题） 13．设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，函数 $\displaystyle g(x, y)=x y-f\left(\frac{y}{x}, \frac{x}{y}\right)$ ，求
$$ x^{2} \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}+2 x y \frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}+y^{2} \frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}} $$
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**： 步骤1：设$\displaystyle u=\frac{y}{x}$，$\displaystyle v=\frac{x}{y}$，则$g(x,y)=xy - f(u,v)$。 步骤2：计算一阶偏导：$\displaystyle g_x = y - (f_u \cdot (-\frac{y}{x^2}) + f_v \cdot \frac{1}{y}) = y + \frac{y}{x^2}f_u - \frac{1}{y}f_v$；$\displaystyle g_y = x - (f_u \cdot \frac{1}{x} + f_v \cdot (-\frac{x}{y^2})) = x - \frac{1}{x}f_u + \frac{x}{y^2}f_v$。 步骤3：计算二阶偏导并代入表达式，利用齐次性化简，最终结果为$0$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：引入中间变量简化函数形式
设 u = y/x, v = x/y，则 g(x, y) = xy - f(u, v)。
公式：u = y/x, v = x/y
提示：注意 u 和 v 的关系：uv = 1。
步骤 2/4
目标：计算一阶偏导数 g_x 和 g_y
g_x = y - (f_u * u_x + f_v * v_x)，其中 u_x = -y/x^2，v_x = 1/y，所以 g_x = y + (y/x^2) f_u - (1/y) f_v。
g_y = x - (f_u * u_y + f_v * v_y)，其中 u_y = 1/x，v_y = -x/y^2，所以 g_y = x - (1/x) f_u + (x/y^2) f_v。
公式：g_x = y + (y/x^2) f_u - (1/y) f_v; g_y = x - (1/x) f_u + (x/y^2) f_v
提示：注意 f 是复合函数，求偏导时使用链式法则。
步骤 3/4
目标：计算二阶偏导数 g_xx, g_xy, g_yy
g_xx = ∂/∂x (g_x) = -2y/x^3 f_u + (y/x^2)(f_uu * u_x + f_uv * v_x) - (1/y)(f_vu * u_x + f_vv * v_x) = -2y/x^3 f_u + (y/x^2)(-y/x^2 f_uu + (1/y) f_uv) - (1/y)(-y/x^2 f_vu + (1/y) f_vv) = -2y/x^3 f_u - y^2/x^4 f_uu + (1/x^2) f_uv + (1/x^2) f_vu - 1/y^2 f_vv。
类似地计算 g_xy 和 g_yy。
公式：g_xx = -2y/x^3 f_u - y^2/x^4 f_uu + (2/x^2) f_uv - 1/y^2 f_vv; g_xy = 1 + (1/x^2) f_u + (y/x^3) f_uu - (1/(xy)) f_uv - (1/(xy)) f_vu + (x/y^3) f_vv; g_yy = -2x/y^3 f_v - 1/x^2 f_uu + (2/y^2) f_uv - x^2/y^4 f_vv
提示：利用 f 的二阶偏导连续，f_uv = f_vu。
步骤 4/4
目标：代入表达式并化简
计算 x^2 g_xx + 2xy g_xy + y^2 g_yy。代入 g_xx, g_xy, g_yy 的表达式，合并同类项。注意许多项会相互抵消，最终结果为 0。
公式：x^2 g_xx + 2xy g_xy + y^2 g_yy = 0
提示：化简时注意对称性和齐次性。
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