kaoyan1basic 高等数学 第13题
📝 题目
### 【强化篇】第13题（选择题） 13．已知 $\displaystyle \frac{a y \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}-1}\left(x^{2}+y^{2}<1\right)$ 是某二元函数的全微分，则 $a=(\quad)$ ． （A） 1 （B）-1 （C） 2 （D）-2
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：设$\displaystyle P(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2-1}$，$\displaystyle Q(x,y)=\frac{ay}{x^2+y^2-1}$。 步骤2：若为全微分，则$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$。 步骤3：$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{2xy}{(x^2+y^2-1)^2}$，$\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x} = -\frac{2axy}{(x^2+y^2-1)^2}$。 步骤4：令相等得$-2xy = -2axy$，即$a=1$。但检查：$\displaystyle P_y = \frac{-x\cdot 2y}{(x^2+y^2-1)^2}$，$\displaystyle Q_x = \frac{-ay\cdot 2x}{(x^2+y^2-1)^2}$，故$-2xy = -2axy$，得$a=1$。选项A为1。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别P和Q
设 P(x,y) = x/(x^2+y^2-1)，Q(x,y) = a y/(x^2+y^2-1)。
提示：全微分形式为 P dx + Q dy，注意分母相同。
步骤 2/4
目标：应用全微分条件
若为全微分，则 ∂P/∂y = ∂Q/∂x。
公式：∂P/∂y = ∂Q/∂x
提示：这是判断全微分的充要条件。
步骤 3/4
目标：计算偏导数
∂P/∂y = -2xy/(x^2+y^2-1)^2，∂Q/∂x = -2a xy/(x^2+y^2-1)^2。
公式：∂P/∂y = -2xy/(x^2+y^2-1)^2，∂Q/∂x = -2a xy/(x^2+y^2-1)^2
提示：使用商法则或链式法则求导。
步骤 4/4
目标：令偏导数相等
令 -2xy = -2a xy，由于 x^2+y^2<1 且 xy 不恒为零，得 a=1。
公式：-2xy = -2a xy ⇒ a=1
提示：注意分母非零，且 xy 可约去。
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