kaoyan1basic 高等数学 第14题
📝 题目
### 【基础篇】第14题（解答题） 14．设函数 $\displaystyle z=x y f\left(\frac{y}{x}\right)$ ，其中 $f(u)$ 可导、且满足 $\displaystyle x \frac{\partial x}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=y^{2}\left(\ln y^{\prime}-\ln x\right)$ ，求： （1）$f(x)$ 的表达式； （2）$f(x)$ 与 $x$ 轴所围图形的面积及该图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积．
💡 答案解析
**答案**：（1）$f(x)=\ln x$；（2）面积$S=1$，体积$V=\pi$ **解析**： 步骤1：设$\displaystyle u=\frac{y}{x}$，则$z=xy f(u)$，$\displaystyle z_x = y f(u) + xy f'(u) \cdot (-\frac{y}{x^2}) = y f(u) - \frac{y^2}{x} f'(u)$，$\displaystyle z_y = x f(u) + xy f'(u) \cdot \frac{1}{x} = x f(u) + y f'(u)$。 步骤2：代入$\displaystyle x z_x + y z_y = x(y f - \frac{y^2}{x}f') + y(x f + y f') = 2xy f$，已知等于$\displaystyle y^2(\ln y - \ln x) = y^2 \ln\frac{y}{x}$。 步骤3：得$2xy f(u) = y^2 \ln u$，即$2x f(u) = y \ln u$，但$y=xu$，故$2x f(u) = xu \ln u$，得$\displaystyle f(u)=\frac{u}{2}\ln u$。 步骤4：$\displaystyle f(x)=\frac{x}{2}\ln x$，与$x$轴交点：$x=0$（极限）和$x=1$，面积$\displaystyle S=\int_0^1 \frac{x}{2}(-\ln x)dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}= \frac{1}{8}$？计算：$\displaystyle \int_0^1 x\ln x dx = -\frac{1}{4}$，故$\displaystyle S=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$。体积$\displaystyle V=\pi\int_0^1 [\frac{x}{2}\ln x]^2 dx = \frac{\pi}{4}\int_0^1 x^2 (\ln x)^2 dx = \frac{\pi}{4}\cdot\frac{2}{27}=\frac{\pi}{54}$。 **难度**：★★★★☆