kaoyan1basic 高等数学 第16题
📝 题目
### 【基础篇】第16题（解答题） 16．设函数 $u=f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，作变量代换 $\xi=x, \eta=y-x$ ，将方程
$$ $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$ $$
化为以 $\xi, \eta$ 为自变量的方程．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}=0$ **解析**： 步骤1：令$\xi=x$，$\eta=y-x$，则$u(x,y)=u(\xi, \eta)$，且$\xi_x=1$，$\xi_y=0$，$\eta_x=-1$，$\eta_y=1$。 步骤2：$u_x = u_\xi \cdot 1 + u_\eta \cdot (-1) = u_\xi - u_\eta$，$u_y = u_\xi \cdot 0 + u_\eta \cdot 1 = u_\eta$。 步骤3：$u_{xx} = (u_\xi - u_\eta)_\xi \cdot 1 + (u_\xi - u_\eta)_\eta \cdot (-1) = u_{\xi\xi} - 2u_{\xi\eta} + u_{\eta\eta}$，$u_{xy} = (u_\xi - u_\eta)_\xi \cdot 0 + (u_\xi - u_\eta)_\eta \cdot 1 = u_{\xi\eta} - u_{\eta\eta}$，$u_{yy} = (u_\eta)_\xi \cdot 0 + (u_\eta)_\eta \cdot 1 = u_{\eta\eta}$。 步骤4：代入原方程：$(u_{\xi\xi} - 2u_{\xi\eta} + u_{\eta\eta}) + 2(u_{\xi\eta} - u_{\eta\eta}) + u_{\eta\eta} = u_{\xi\xi} = 0$，即$\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2}=0$。 **难度**：★★★☆☆