kaoyan1basic 高等数学 第16题
📝 题目
### 【强化篇】第16题（选择题） 16．设函数 $f$ 与 $g$ 均可微，$z=f[x y, \ln x+g(x y)]$ ，则 $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}-y \frac{\partial z}{\partial y}=(\quad)$ 。 （A）$f_{1}^{\prime}$ （B）$f_{2}^{\prime}$ （C）$f_{1}^{\prime}+f_{2}^{\prime}$ （D）$f_{1}^{\prime}-f_{2}^{\prime}$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：设$u=xy$，$v=\ln x + g(xy)$，则$z=f(u,v)$。 步骤2：$\displaystyle z_x = f_1' \cdot y + f_2' \cdot (\frac{1}{x} + g'(xy) \cdot y)$，$z_y = f_1' \cdot x + f_2' \cdot (0 + g'(xy) \cdot x)$。 步骤3：$\displaystyle x z_x - y z_y = x[y f_1' + f_2'(\frac{1}{x} + y g')] - y[x f_1' + x f_2' g'] = x y f_1' + f_2' + x y f_2' g' - x y f_1' - x y f_2' g' = f_2'$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：设中间变量
设 u = xy, v = ln x + g(xy)，则 z = f(u, v)。
提示：引入中间变量简化复合函数求导。
步骤 2/3
目标：计算偏导数 z_x 和 z_y
利用链式法则：z_x = f'_1 * y + f'_2 * (1/x + g'(xy) * y)；z_y = f'_1 * x + f'_2 * (0 + g'(xy) * x)。
公式：z_x = f'_1 * y + f'_2 * (1/x + y g')；z_y = f'_1 * x + f'_2 * x g'
提示：注意 ln x 对 x 求导为 1/x，g(xy) 对 x 求导为 g' * y，对 y 求导为 g' * x。
步骤 3/3
目标：计算 x z_x - y z_y
代入表达式：x z_x - y z_y = x[y f'_1 + f'_2(1/x + y g')] - y[x f'_1 + x f'_2 g'] = xy f'_1 + f'_2 + xy f'_2 g' - xy f'_1 - xy f'_2 g' = f'_2。
公式：x z_x - y z_y = f'_2
提示：合并同类项时注意正负号，最终结果消去所有含 xy 的项。
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