kaoyan1basic 高等数学 第17题
📝 题目
### 【基础篇】第17题（解答题） 17．设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle F\left(x+\frac{z}{y}, y+\frac{z}{x}\right)=0$ 确定，且 $F(u, v)$ 具有连续偏导数，求 $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+ y \frac{\partial z}{\partial y}$.
💡 答案解析
**答案**：$z$ **解析**： 步骤1：方程$\displaystyle F(x+\frac{z}{y}, y+\frac{z}{x})=0$，令$\displaystyle u=x+\frac{z}{y}$，$\displaystyle v=y+\frac{z}{x}$。 步骤2：两边对$x$求偏导：$\displaystyle F_u \cdot (1 + \frac{z_x}{y}) + F_v \cdot (0 + \frac{z_x x - z}{x^2}) = 0$，得$\displaystyle F_u(1+\frac{z_x}{y}) + F_v \frac{x z_x - z}{x^2}=0$。 步骤3：两边对$y$求偏导：$\displaystyle F_u \cdot (0 + \frac{z_y y - z}{y^2}) + F_v \cdot (1 + \frac{z_y}{x}) = 0$，得$\displaystyle F_u \frac{y z_y - z}{y^2} + F_v(1+\frac{z_y}{x})=0$。 步骤4：解出$z_x$和$z_y$，代入$x z_x + y z_y$，化简得$z$。 **难度**：★★★★☆