kaoyan1basic 高等数学 第17题

教材习题

📝 题目

### 【强化篇】第17题（选择题） 17．设 $F(u, v)$ 具有一阶连续偏导数，且 $z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle F\left(\frac{x}{z}, y z\right)=0$ 所确定．设题中出现的分母不为零，则 $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}-y \frac{\partial z}{\partial y}=(\quad)$ ． （A） 0 （B）$z$ （C）$\displaystyle \frac{1}{z}$ （D） 1

💡 答案解析

**答案**：B **解析**： 步骤1：方程$\displaystyle F(\frac{x}{z}, yz)=0$，令$\displaystyle u=\frac{x}{z}$，$v=yz$。 步骤2：两边对$x$求偏导：$\displaystyle F_u \cdot \frac{z - x z_x}{z^2} + F_v \cdot y z_x = 0$，得$\displaystyle F_u \frac{1}{z} - F_u \frac{x}{z^2} z_x + F_v y z_x = 0$。 步骤3：两边对$y$求偏导：$\displaystyle F_u \cdot (-\frac{x}{z^2} z_y) + F_v \cdot (z + y z_y) = 0$。 步骤4：解出$\displaystyle z_x = \frac{F_u / z}{F_u x / z^2 - F_v y}$，$\displaystyle z_y = \frac{-F_v z}{F_v y - F_u x / z^2}$，代入$x z_x - y z_y$得$z$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：引入中间变量
令 u = x/z, v = yz，则方程化为 F(u, v) = 0。
公式：u = x/z, v = yz
提示：注意 z 是 x, y 的函数。
步骤 2/5
目标：对 x 求偏导
方程两边对 x 求偏导，注意 z 是 x 的函数：F_u * (∂u/∂x) + F_v * (∂v/∂x) = 0。其中 ∂u/∂x = (z - x z_x)/z^2，∂v/∂x = y z_x。代入得：F_u * (1/z - (x/z^2) z_x) + F_v * y z_x = 0。
公式：F_u * (1/z - (x/z^2) z_x) + F_v * y z_x = 0
提示：注意复合函数求导法则。
步骤 3/5
目标：对 y 求偏导
方程两边对 y 求偏导，注意 z 是 y 的函数：F_u * (∂u/∂y) + F_v * (∂v/∂y) = 0。其中 ∂u/∂y = - (x/z^2) z_y，∂v/∂y = z + y z_y。代入得：F_u * (- (x/z^2) z_y) + F_v * (z + y z_y) = 0。
公式：-F_u * (x/z^2) z_y + F_v * (z + y z_y) = 0
提示：注意 v = yz 对 y 求导时，z 是 y 的函数。
步骤 4/5
目标：解出偏导数
从对 x 求偏导的方程解出 z_x：z_x = (F_u / z) / (F_u x / z^2 - F_v y)。从对 y 求偏导的方程解出 z_y：z_y = (-F_v z) / (F_v y - F_u x / z^2)。
公式：z_x = (F_u / z) / (F_u x / z^2 - F_v y), z_y = (-F_v z) / (F_v y - F_u x / z^2)
提示：注意分母不为零的条件。
步骤 5/5
目标：计算目标表达式
代入 x z_x - y z_y：x * (F_u / z) / (F_u x / z^2 - F_v y) - y * (-F_v z) / (F_v y - F_u x / z^2)。注意分母互为相反数，化简得：x z_x - y z_y = z。
公式：x ∂z/∂x - y ∂z/∂y = z
提示：化简时注意符号。

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