kaoyan1basic 高等数学 第18题
📝 题目
### 【基础篇】第18题（选择题） 18．设 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，在 $D$ 内有一阶偏导数．若 $f(x, y)$ 在 $D$ 的边界 $\partial D$ 上的值均为 0 ，且 $\displaystyle \frac{\partial[f(x, y)]}{\partial x}+\frac{\partial[f(x, y)]}{\partial y}=f(x, y)$ ，则 $f(x, y)(\quad)$ 。 （A）在 $D$ 内有正的最大值 （B）在 $D$ 内有负的最小值 （C）只在 $D$ 的边界 $\partial D$ 上取到最大值 （D）在 $D$ 的边界 $\partial D$ 上可以取到最小值
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：由条件，在$D$内$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} = f$，边界上$f=0$。 步骤2：假设$f$在$D$内某点取正的最大值，则该点处$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}=0$，代入得$f=0$，矛盾，故不能有内点正最大值。 步骤3：同理，若取负的最小值，则$f<0$，但偏导为0得$f=0$，矛盾，故不能有内点负最小值。 步骤4：因此最大值和最小值只能在边界上取得，且边界值为0，故最大值和最小值均为0，选项C正确。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析条件
由题意，在D内∂f/∂x + ∂f/∂y = f，在边界∂D上f=0。
公式：∂f/∂x + ∂f/∂y = f
提示：注意条件在内部和边界不同。
步骤 2/4
目标：反证内点正最大值
假设f在D内某点取正的最大值，则该点处偏导数为0，代入方程得0+0=f，故f=0，与正最大值矛盾。
公式：极值点处偏导数为0
提示：极值点处一阶偏导为0。
步骤 3/4
目标：反证内点负最小值
假设f在D内某点取负的最小值，则该点处偏导数为0，代入方程得0+0=f，故f=0，与负最小值矛盾。
公式：极值点处偏导数为0
提示：同理可得。
步骤 4/4
目标：得出结论
因此f在D内既无正最大值也无负最小值，故最大值和最小值只能在边界上取得，且边界值为0，所以最大值和最小值均为0。选项C正确。
提示：边界值全为0，故最值在边界。
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