kaoyan1basic 高等数学 第20题
📝 题目
### 【强化篇】第20题（解答题） 20．设 $f(u, v)$ 存在二阶连续偏导数，$z=z(x, y)$ 是由方程 $f(z-x, z-y)=1$ 确定的隐函数，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{f_{11}f_{22}-f_{12}^2}{(f_1+f_2)^3}$ **解析**： 步骤1：设$F(x,y,z)=f(z-x,z-y)-1=0$，则$F_x=-f_1$，$F_y=-f_2$，$F_z=f_1+f_2$。 步骤2：$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}=\frac{f_1}{f_1+f_2}$，$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{f_2}{f_1+f_2}$。 步骤3：$\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{f_1}{f_1+f_2}\right)=\frac{(f_{11}\frac{\partial(z-x)}{\partial y}+f_{12}\frac{\partial(z-y)}{\partial y})(f_1+f_2)-f_1(f_{11}\frac{\partial(z-x)}{\partial y}+f_{12}\frac{\partial(z-y)}{\partial y}+f_{21}\frac{\partial(z-x)}{\partial y}+f_{22}\frac{\partial(z-y)}{\partial y})}{(f_1+f_2)^2}$，其中$\displaystyle \frac{\partial(z-x)}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial y}$，$\displaystyle \frac{\partial(z-y)}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial y}-1$。代入化简得$\displaystyle \frac{f_{11}f_{22}-f_{12}^2}{(f_1+f_2)^3}$。 **难度**：★★★☆☆