kaoyan1basic 高等数学 第21题
📝 题目
### 【基础篇】第21题（填空题） 21．设 $\mathrm{e}^{x}+y^{2}+|z|=3$ ，其中 $x, y, z$ 为实数，若 $\mathrm{e}^{x} y^{2}|z| \leqslant k$ 恒成立，则 $k$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$k\geqslant 1$ **解析**： 步骤1：由$e^x+y^2+|z|=3$，且$e^x>0, y^2\geq0, |z|\geq0$，则$e^x, y^2, |z|$均非负且和为3。 步骤2：求$e^x y^2|z|$的最大值。由均值不等式，$\displaystyle e^x y^2|z|\leq \left(\frac{e^x+y^2+|z|}{3}\right)^3=1$，当$e^x=y^2=|z|=1$时取等。 步骤3：故$e^x y^2|z|\leq 1$，要恒成立需$k\geq 1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析已知条件
由方程 e^x + y^2 + |z| = 3，且 e^x > 0, y^2 ≥ 0, |z| ≥ 0，可知三个非负数的和为定值3。
提示：注意各变量的取值范围。
步骤 2/3
目标：应用均值不等式求最大值
对非负数 e^x, y^2, |z| 使用均值不等式：三个数的几何平均数不超过算术平均数，即 (e^x y^2 |z|)^(1/3) ≤ (e^x + y^2 + |z|)/3 = 1，所以 e^x y^2 |z| ≤ 1，当且仅当 e^x = y^2 = |z| = 1 时取等。
公式：\sqrt[3]{e^x y^2 |z|} \leq \frac{e^x + y^2 + |z|}{3}
提示：均值不等式适用于非负实数。
步骤 3/3
目标：确定k的取值范围
因为 e^x y^2 |z| ≤ 1 恒成立，要使 e^x y^2 |z| ≤ k 恒成立，只需 k ≥ 1。
提示：恒成立问题转化为最值问题。
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