kaoyan1basic 高等数学 第22题
📝 题目
### 【基础篇】第22题（解答题） 22．求函数 $f(x, y)=(y-x)\left(y-x^{2}\right)$ 的极值．
💡 答案解析
**答案**：极小值$0$，无极小值？ **解析**： 步骤1：$f(x,y)=(y-x)(y-x^2)$，求驻点：$f_x=-(y-x^2)-(y-x)\cdot(-2x)= -y+x^2+2x(y-x)= -y+x^2+2xy-2x^2=2xy - y - x^2$，$f_y=(y-x^2)+(y-x)=2y-x-x^2$。 步骤2：解$f_x=0, f_y=0$得$2xy-y-x^2=0$，$2y-x-x^2=0$。由第二式得$\displaystyle y=\frac{x+x^2}{2}$，代入第一式得$\displaystyle 2x\cdot\frac{x+x^2}{2}-\frac{x+x^2}{2}-x^2= x(x+x^2)-\frac{x+x^2}{2}-x^2= x^2+x^3-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{2}-x^2= x^3-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{2}=0$，即$2x^3-x^2-x=0$，$x(2x^2-x-1)=0$，$x(2x+1)(x-1)=0$，得$\displaystyle x=0, -\frac{1}{2}, 1$。 步骤3：对应$y$：$x=0$时$y=0$；$\displaystyle x=-\frac{1}{2}$时$\displaystyle y=\frac{-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}{2}=-\frac{1}{8}$；$x=1$时$y=1$。 步骤4：计算二阶偏导：$f_{xx}=2y-2x$，$f_{yy}=2$，$f_{xy}=2x-1$。 在$(0,0)$：$A=0, B=-1, C=2$，$AC-B^2=-1<0$，不是极值。 在$\displaystyle (-\frac{1}{2},-\frac{1}{8})$：$\displaystyle A=2(-\frac{1}{8})-2(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}+1=\frac{3}{4}$，$\displaystyle B=2(-\frac{1}{2})-1=-2$，$C=2$，$\displaystyle AC-B^2=\frac{3}{4}\cdot2-4=\frac{3}{2}-4=-\frac{5}{2}<0$，不是极值。 在$(1,1)$：$A=2-2=0$，$B=2-1=1$，$C=2$，$AC-B^2=-1<0$，不是极值。 故函数无极值点。但题目要求求极值，可能需考虑边界或整体，实际上$f(x,y)$可正可负，无全局极值。 **难度**：★★★☆☆