kaoyan1basic 高等数学 第23题
📝 题目
### 【基础篇】第23题（解答题） 23．求函数 $f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3 x y$ 的极值．
💡 答案解析
**答案**：极小值$-1$，极大值$0$？ **解析**： 步骤1：$f(x,y)=x^3+y^3-3xy$，求驻点：$f_x=3x^2-3y=0$，$f_y=3y^2-3x=0$，解得$x=y$，代入得$3x^2-3x=0$，$x=0$或$1$。驻点$(0,0)$和$(1,1)$。 步骤2：二阶偏导：$f_{xx}=6x$，$f_{yy}=6y$，$f_{xy}=-3$。 在$(0,0)$：$A=0, B=-3, C=0$，$AC-B^2=-9<0$，不是极值。 在$(1,1)$：$A=6, B=-3, C=6$，$AC-B^2=36-9=27>0$且$A>0$，故为极小值，$f(1,1)=1+1-3=-1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求驻点
求一阶偏导数并令其为零：f_x = 3x^2 - 3y = 0，f_y = 3y^2 - 3x = 0。由第一个方程得 y = x^2，代入第二个方程得 3x^4 - 3x = 0，即 x(x^3 - 1) = 0，解得 x = 0 或 x = 1。对应 y = 0 或 y = 1。因此驻点为 (0,0) 和 (1,1)。
公式：f_x = 3x^2 - 3y = 0; f_y = 3y^2 - 3x = 0
提示：注意解方程组时，代入消元要仔细。
步骤 2/4
目标：计算二阶偏导数
计算二阶偏导数：f_xx = 6x，f_yy = 6y，f_xy = -3。
公式：f_xx = 6x, f_yy = 6y, f_xy = -3
提示：二阶偏导数的计算要准确。
步骤 3/4
目标：判断驻点类型
对于驻点 (0,0)：A = f_xx(0,0) = 0，B = f_xy(0,0) = -3，C = f_yy(0,0) = 0。判别式 AC - B^2 = 0 - 9 = -9 < 0，故 (0,0) 不是极值点。对于驻点 (1,1)：A = 6，B = -3，C = 6。判别式 AC - B^2 = 36 - 9 = 27 > 0，且 A > 0，故 (1,1) 是极小值点。
公式：AC - B^2
提示：注意判别式小于0时不是极值，大于0时根据A的正负判断极大或极小。
步骤 4/4
目标：计算极值
将 (1,1) 代入原函数：f(1,1) = 1^3 + 1^3 - 3*1*1 = 1 + 1 - 3 = -1。因此极小值为 -1。
公式：f(1,1) = -1
提示：代入计算要准确。
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