kaoyan1basic 高等数学 第25题
📝 题目
### 【基础篇】第25题（解答题） 25．求函数 $f(x, y)=x y$ 在约束条件 $x+y=2$ 下的极值．
💡 答案解析
**答案**：极大值$1$ **解析**： 步骤1：约束条件$x+y=2$，代入$f(x,y)=xy=x(2-x)=2x-x^2$。 步骤2：一元函数$g(x)=2x-x^2$，$g'(x)=2-2x=0$得$x=1$，$g''(x)=-2<0$，故$x=1$时取极大值$g(1)=1$，对应$y=1$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将二元函数转化为一元函数
由约束条件 x+y=2 得 y=2-x，代入 f(x,y)=xy 得 f(x,y)=x(2-x)=2x-x^2。
公式：y=2-x, f=2x-x^2
提示：代入消元是处理等式约束下极值问题的常用方法。
步骤 2/3
目标：求一元函数的极值
令 g(x)=2x-x^2，求导得 g'(x)=2-2x，令 g'(x)=0 得 x=1。再求二阶导 g''(x)=-2<0，故 x=1 处取得极大值。
公式：g'(x)=2-2x=0, g''(x)=-2<0
提示：注意二阶导数小于0说明是极大值。
步骤 3/3
目标：计算极值并给出对应y值
将 x=1 代入 g(x) 得极大值 g(1)=1，同时 y=2-x=1。
公式：f(1,1)=1
提示：极值点坐标为 (1,1)。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。