kaoyan1basic 高等数学 第27题
📝 题目
### 【基础篇】第27题（解答题） 27．设 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\left(x^{2}+y^{2}-4 x+4\right) \mathrm{e}^{\mathrm{r}}, \frac{\partial f}{\partial y}=2 y \mathrm{e}^{\mathrm{r}}, f(0,0)=0$ ，求： （1）$f(x, y)$ 的表达式； （2）$f(x, y)$ 的极值．
💡 答案解析
**答案**：（1）$f(x,y)=(x^2+y^2-4x+4)\mathrm{e}^x -4$；（2）极小值 $f(0,0)=-4$，极大值 $f(2,0)=0$ **解析**： 步骤1：由 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=(x^2+y^2-4x+4)\mathrm{e}^x$，积分得 $f(x,y)=\int (x^2+y^2-4x+4)\mathrm{e}^x dx = (x^2+y^2-4x+4)\mathrm{e}^x - \int (2x-4)\mathrm{e}^x dx = (x^2+y^2-4x+4)\mathrm{e}^x - (2x-4)\mathrm{e}^x + \int 2\mathrm{e}^x dx = (x^2+y^2-4x+4-2x+4+2)\mathrm{e}^x + C(y) = (x^2+y^2-6x+10)\mathrm{e}^x + C(y)$。 步骤2：由 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=2y\mathrm{e}^x$，得 $2y\mathrm{e}^x + C'(y)=2y\mathrm{e}^x$，故 $C'(y)=0$，$C(y)=C$。代入 $f(0,0)=0$ 得 $10+C=0$，$C=-10$。故 $f(x,y)=(x^2+y^2-6x+10)\mathrm{e}^x -10$。 步骤3：令 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=0$，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=0$，解得驻点 $(2,0)$ 和 $(0,0)$。计算二阶偏导，在 $(2,0)$ 处 $AC-B^2>0$ 且 $A>0$，为极小值 $f(2,0)=0$；在 $(0,0)$ 处 $AC-B^2>0$ 且 $A<0$，为极大值 $f(0,0)=-4$。
**难度**：★★★☆☆