kaoyan1basic 高等数学 第27题
📝 题目
### 【强化篇】第27题（解答题） 27．设 $f(x, y)=3 x+4 y-a x^{2}-2 a y^{2}-2 b x y$ 。当 $a, b$ 满足何种条件时，$f(x, y)$ 有唯一的极大值，并说明理由。
💡 答案解析
**答案**：当 $a>0$ 且 $|b|<\sqrt{2}a$ 时，$f(x,y)$ 有唯一的极大值 **解析**： 步骤1：求偏导 $f_x=3-2ax-2by=0$，$f_y=4-4ay-2bx=0$。解方程组得唯一驻点。 步骤2：计算二阶偏导 $f_{xx}=-2a$，$f_{xy}=-2b$，$f_{yy}=-4a$。 步骤3：判别式 $AC-B^2=(-2a)(-4a)-(-2b)^2=8a^2-4b^2=4(2a^2-b^2)$。 步骤4：若 $f$ 有唯一极大值，需 $A<0$ 即 $-2a<0$ 得 $a>0$，且 $AC-B^2>0$ 即 $2a^2-b^2>0$，得 $|b|<\sqrt{2}a$。此时驻点为极大值点。
**难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求驻点
对 f(x,y) 求偏导：f_x = 3 - 2ax - 2by = 0，f_y = 4 - 4ay - 2bx = 0。解方程组得到唯一驻点。
公式：f_x=0, f_y=0
提示：注意解方程组时，将 x 和 y 视为未知数，a,b 为参数。
步骤 2/4
目标：计算二阶偏导
计算二阶偏导数：f_xx = -2a，f_xy = -2b，f_yy = -4a。
公式：f_xx, f_xy, f_yy
提示：二阶偏导是常数，与驻点坐标无关。
步骤 3/4
目标：计算判别式
计算 AC - B^2 = (-2a)(-4a) - (-2b)^2 = 8a^2 - 4b^2 = 4(2a^2 - b^2)。
公式：AC - B^2 = f_xx f_yy - (f_xy)^2
提示：判别式用于判断极值类型。
步骤 4/4
目标：确定极值条件
若 f 有唯一极大值，需 A < 0 且 AC - B^2 > 0。由 A = -2a < 0 得 a > 0；由 AC - B^2 > 0 得 2a^2 - b^2 > 0，即 |b| < √2 a。此时驻点为极大值点。
公式：A<0, AC-B^2>0
提示：注意唯一性由方程组解的唯一性保证。
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