kaoyan1basic 高等数学 第31题
📝 题目
### 【强化篇】第31题（解答题） 31．求曲线 $x^{2}-x y+y^{2}=1(x>0, y>0)$ 上的一点 $P$ ，使该点处的切线与 $x$ 轴，$y$ 轴在第一象限所围的图形的面积最小。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle P\left(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ **解析**： 步骤1：曲线 $x^2-xy+y^2=1$，隐函数求导得 $2x-y-xy'+2yy'=0$，故 $\displaystyle y'=\frac{y-2x}{2y-x}$。 步骤2：设切点 $P(x_0,y_0)$，切线方程为 $\displaystyle y-y_0=\frac{y_0-2x_0}{2y_0-x_0}(x-x_0)$。 步骤3：求 $x$ 截距：令 $y=0$，得 $\displaystyle x=x_0+\frac{y_0(2y_0-x_0)}{y_0-2x_0}$；$y$ 截距：令 $x=0$，得 $\displaystyle y=y_0+\frac{x_0(y_0-2x_0)}{2y_0-x_0}$。 步骤4：三角形面积 $\displaystyle S=\frac{1}{2}\times x\text{截距}\times y\text{截距}$，利用约束 $x_0^2-x_0y_0+y_0^2=1$ 化简。 步骤5：由对称性，令 $x_0=y_0$，代入曲线得 $x_0^2=1$，$x_0=1$（因 $x>0$），此时切线截距均为 $2$，面积 $S=2$。 步骤6：通过拉格朗日乘数法求 $S$ 最小值，得驻点 $\displaystyle x_0=y_0=\frac{\sqrt{3}}{3}$，此时面积最小。
**难度**：★★★★☆