kaoyan1basic 高等数学 第32题
📝 题目
### 【强化篇】第32题（解答题） 32．已知 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=2 x+y+1, \frac{\partial u}{\partial y}=x+2 y+3, u(0,0)=1$ ．求 $u(x, y)$ 及 $u(x, y)$ 的极值，并判断极值是极大值还是极小值？说明理由．
💡 答案解析
**答案**：$u(x,y)=x^2+xy+y^2+x+3y+1$，极小值 $\displaystyle u\left(-\frac{1}{3}, -\frac{5}{3}\right)=-\frac{4}{3}$ **解析**： 步骤1：由 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=2x+y+1$，积分得 $u=x^2+xy+x+\varphi(y)$。 步骤2：由 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=x+2y+3$，得 $x+\varphi'(y)=x+2y+3$，故 $\varphi'(y)=2y+3$，积分得 $\varphi(y)=y^2+3y+C$。 步骤3：代入 $u(0,0)=1$ 得 $C=1$，故 $u=x^2+xy+y^2+x+3y+1$。 步骤4：令 $u_x=2x+y+1=0$，$u_y=x+2y+3=0$，解得驻点 $\displaystyle x=-\frac{1}{3}$，$\displaystyle y=-\frac{5}{3}$。 步骤5：$A=u_{xx}=2$，$B=u_{xy}=1$，$C=u_{yy}=2$，$AC-B^2=3>0$，$A>0$，故为极小值，$\displaystyle u\left(-\frac{1}{3}, -\frac{5}{3}\right)=-\frac{4}{3}$。
**难度**：★★★☆☆