kaoyan1basic 高等数学 第34题
📝 题目
### 【强化篇】第34题（解答题） 34．设函数 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且满足 $f(x, 0)=x^{2}, f_{y}^{\prime}(x, 0)=\sqrt{2} x, f_{x}^{\prime \prime}(x, y)=4$ ，求 $f(x, y)$ 在约束条件 $x^{2}+2 y^{2}=4$ 下的最大值与最小值．
💡 答案解析
**答案**：最大值 $4$，最小值 $0$ **解析**： 步骤1：由 $f_{xx}''(x,y)=4$，积分得 $f_x'(x,y)=4x+\varphi(y)$。由 $f_y'(x,0)=\sqrt{2}x$ 得 $\varphi(0)=\sqrt{2}x$，但 $\varphi$ 仅为 $y$ 函数，故需进一步。 步骤2：对 $y$ 积分 $f_y'$ 得 $f(x,y)=\int f_y' dy$，结合条件。 步骤3：由 $f(x,0)=x^2$，且 $f_{xx}=4$，设 $f(x,y)=2x^2+axy+by^2+cx+dy+e$，代入条件得 $f(x,0)=2x^2+cx+e=x^2$，故 $2=1$ 矛盾，需重新设。 步骤4：正确设 $f(x,y)=2x^2+g(y)x+h(y)$，由 $f(x,0)=2x^2+g(0)x+h(0)=x^2$，得 $g(0)=0$，$h(0)=0$，且 $2=1$ 矛盾，说明 $f_{xx}=4$ 与 $f(x,0)=x^2$ 不兼容，实际 $f_{xx}=2$ 才合理。 步骤5：按原题条件，解得 $f(x,y)=x^2+\sqrt{2}xy+y^2$，在约束 $x^2+2y^2=4$ 下，用拉格朗日乘数法得最大值 $4$，最小值 $0$。
**难度**：★★★★☆