kaoyan1basic 高等数学 第35题
📝 题目
### 【强化篇】第35题（解答题） 35．设函数 $u=x z+a y^{3}(z \geqslant 0)$ ，且 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ ． （1）当 $\displaystyle a=\frac{1}{3}$ 时，求 $u$ 的最大值； （2）当 $a=l$（ $l$ 为变量）时，$u$ 是否有最大值，若有，求出最大值，若没有，说明理由．
💡 答案解析
**答案**：（1）最大值 $\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{9}$；（2）当 $\displaystyle l\leq\frac{1}{3}$ 时有最大值，最大值为 $\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{9}$；当 $\displaystyle l>\frac{1}{3}$ 时无最大值 **解析**： 步骤1：$u=xz+ay^3$，约束 $x^2+y^2+z^2=1$，$z\geq0$。 步骤2：（1）$\displaystyle a=\frac{1}{3}$，令 $\displaystyle L=xz+\frac{1}{3}y^3+\lambda(x^2+y^2+z^2-1)$，解方程组。 步骤3：由对称性和条件，得驻点，代入得 $u$ 最大值 $\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{9}$。 步骤4：（2）$a=l$，分析 $u$ 有界性，当 $\displaystyle l\leq\frac{1}{3}$ 时，$u$ 有最大值 $\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{9}$；当 $\displaystyle l>\frac{1}{3}$ 时，$y^3$ 项可导致 $u$ 无上界。
**难度**：★★★★☆