kaoyan1basic 高等数学 第37题
📝 题目
### 【强化篇】第37题（选择题） 37．设二元函数 $z=f(x, y)$ 的全微分 $\mathrm{d} x=\left(3 x^{2}-3\right) \mathrm{d} x+(6 y-6) \mathrm{d} y$ ，则（ ）。 （A）$f(1,1)$ 是极小值，$f(-1,1)$ 不是极值 （B）$f(1,1)$ 是极大值，$f(-1,1)$ 不是极值 （C）$f(1,1)$ 是极大值，$f(-1,1)$ 是极小值 （D）$f(1,1)$ 是极小值，$f(-1,1)$ 是极大值
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：由全微分 $\mathrm{d}z=(3x^2-3)\mathrm{d}x+(6y-6)\mathrm{d}y$，得 $z_x=3x^2-3$，$z_y=6y-6$。 步骤2：令 $z_x=0$，$z_y=0$，得驻点 $x=\pm1$，$y=1$，即 $(1,1)$ 和 $(-1,1)$。 步骤3：$z_{xx}=6x$，$z_{xy}=0$，$z_{yy}=6$。在 $(1,1)$ 处，$A=6$，$B=0$，$C=6$，$AC-B^2=36>0$，$A>0$，为极小值。在 $(-1,1)$ 处，$A=-6$，$B=0$，$C=6$，$AC-B^2=-36<0$，不是极值。 步骤4：故选A。
**难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：由全微分得到偏导数
由全微分 dz = (3x^2-3)dx + (6y-6)dy，得 z_x = 3x^2-3，z_y = 6y-6。
公式：dz = f_x dx + f_y dy
提示：全微分中dx和dy的系数即为偏导数。
步骤 2/5
目标：求驻点
令 z_x = 0，z_y = 0，即 3x^2-3=0，6y-6=0，解得 x=±1，y=1，得驻点 (1,1) 和 (-1,1)。
公式：f_x=0, f_y=0
提示：驻点是一阶偏导数为零的点。
步骤 3/5
目标：计算二阶偏导数
z_xx = 6x，z_xy = 0，z_yy = 6。
公式：f_xx, f_xy, f_yy
提示：二阶偏导数由一阶偏导数再求导得到。
步骤 4/5
目标：判断极值
在 (1,1) 处，A=6，B=0，C=6，AC-B^2=36>0，且 A>0，故为极小值。在 (-1,1) 处，A=-6，B=0，C=6，AC-B^2=-36<0，故不是极值。
公式：判别式 Δ = AC - B^2
提示：当Δ>0且A>0时极小值，Δ>0且A<0时极大值，Δ<0时不是极值。
步骤 5/5
目标：得出结论
f(1,1)是极小值，f(-1,1)不是极值，故选A。
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