kaoyan1basic 高等数学 第38题
📝 题目
### 【强化篇】第38题（选择题） 38．设 $f(x, y)=x^{3}-y^{3}-3 x+3 y$ ，则（ ）。 （A）$f(1,-1)$ 是极大值，$f(-1,1)$ 是极小值 （B）$f(1,-1)$ 是极小值，$f(-1,1)$ 是极大值 （C）$f(1,1)$ 是极大值，$f(-1,-1)$ 是极小值 （D）$f(1,1)$ 是极小值，$f(-1,-1)$ 是极大值
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$f_x=3x^2-3=0$，$f_y=-3y^2+3=0$，得驻点 $(1,1)$，$(1,-1)$，$(-1,1)$，$(-1,-1)$。 步骤2：$f_{xx}=6x$，$f_{xy}=0$，$f_{yy}=-6y$。 步骤3：在 $(1,-1)$ 处，$A=6$，$B=0$，$C=6$，$AC-B^2=36>0$，$A>0$，为极小值。在 $(-1,1)$ 处，$A=-6$，$B=0$，$C=-6$，$AC-B^2=36>0$，$A<0$，为极大值。 步骤4：故选B。
**难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求驻点
令一阶偏导数为零：f_x = 3x^2 - 3 = 0，f_y = -3y^2 + 3 = 0，解得 x = ±1，y = ±1，得驻点 (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1)。
公式：f_x = 0, f_y = 0
提示：注意解方程时不要遗漏驻点。
步骤 2/4
目标：计算二阶偏导数
计算二阶偏导数：f_xx = 6x，f_xy = 0，f_yy = -6y。
公式：f_xx = 6x, f_xy = 0, f_yy = -6y
提示：二阶偏导数要准确。
步骤 3/4
目标：判断极值点
对于每个驻点，计算判别式 AC - B^2 和 A 的符号。在 (1,-1) 处，A = 6, B = 0, C = 6, AC - B^2 = 36 > 0, A > 0，为极小值；在 (-1,1) 处，A = -6, B = 0, C = -6, AC - B^2 = 36 > 0, A < 0，为极大值；其他点不是极值点。
公式：AC - B^2 > 0 且 A > 0 为极小值，A < 0 为极大值
提示：注意判别式大于0才有极值，且根据A的正负判断极大或极小。
步骤 4/4
目标：选择答案
由以上分析，f(1,-1) 是极小值，f(-1,1) 是极大值，对应选项B。
提示：对照选项，注意不要混淆。
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