kaoyan1basic 高等数学 第39题
📝 题目
### 【强化篇】第39题（选择题） 39．已知函数 $\displaystyle f(x, y)=x \mathrm{e}^{\cos y}+\frac{x^{2}+\mathrm{e}^{2}}{2}$ ，则 ． （A）（－ $\mathrm{e}, 2 \pi$ ）是 $f(x, y)$ 的极小值点 （B）（一 $\mathrm{e}, 2 \pi)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点 （C）$\displaystyle \left(-\frac{1}{\mathrm{e}}, 3 \pi\right)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点 （D）$\displaystyle \left(-\frac{1}{\mathrm{e}}, 3 \pi\right)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$f_x=\mathrm{e}^{\cos y}+x=0$，$f_y=-x\mathrm{e}^{\cos y}\sin y=0$。 步骤2：由 $f_y=0$，得 $x=0$ 或 $\sin y=0$。若 $x=0$，代入 $f_x=0$ 得 $\mathrm{e}^{\cos y}=0$，无解。故 $\sin y=0$，$y=k\pi$。 步骤3：代入 $f_x=0$ 得 $\mathrm{e}^{\cos(k\pi)}+x=0$，即 $\mathrm{e}^{(-1)^k}+x=0$，$x=-\mathrm{e}^{(-1)^k}$。 步骤4：当 $k$ 为偶数时，$y=2n\pi$，$x=-\mathrm{e}$；当 $k$ 为奇数时，$y=(2n+1)\pi$，$\displaystyle x=-\frac{1}{\mathrm{e}}$。 步骤5：$f_{xx}=1$，$f_{xy}=-\mathrm{e}^{\cos y}\sin y$，$f_{yy}=x\mathrm{e}^{\cos y}\sin^2 y - x\mathrm{e}^{\cos y}\cos y$。在 $(-\mathrm{e},2\pi)$ 处，$A=1$，$B=0$，$C=-\mathrm{e}\cdot\mathrm{e}\cdot1=-\mathrm{e}^2$，$AC-B^2=-\mathrm{e}^2<0$，不是极值？ 步骤6：重新计算，在 $(-\mathrm{e},2\pi)$ 处，$\sin y=0$，$\cos y=1$，$f_{yy}=x\mathrm{e}^1\cdot0 - x\mathrm{e}^1\cdot1 = -x\mathrm{e}= \mathrm{e}^2>0$，$AC-B^2=1\cdot\mathrm{e}^2-0>0$，$A>0$，为极小值。故选A。
**难度**：★★★☆☆