kaoyan1basic 高等数学 第40题
📝 题目
### 【强化篇】第40题（选择题） 40．设 $f(x, y)=\left(x-y^{2}+1\right) \mathrm{e}^{-x}$ ，则函数 $f(x, y)($ ． （A）有一个极小值，没有极大值 （B）有一个极大值，没有极小值 （C）有一个极大值，一个极小值 （D）没有极值
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：求驻点。令$f_x = e^{-x}(-x+y^2-1+1)=0$，$f_y = 2y e^{-x}=0$，解得$y=0$，代入$f_x=0$得$x=0$，驻点$(0,0)$。 步骤2：求二阶偏导。$f_{xx}=e^{-x}(x-2)$，$f_{yy}=2e^{-x}$，$f_{xy}=-2y e^{-x}$。在$(0,0)$处，$A=f_{xx}(0,0)=-2$，$B=f_{xy}(0,0)=0$，$C=f_{yy}(0,0)=2$。 步骤3：判别。$AC-B^2=-4<0$，故$(0,0)$不是极值点。但需检查边界？实际上函数无其他驻点，且当$y$固定，$x\to+\infty$时$f\to0$，$x\to-\infty$时$f\to\infty$，故无极值。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求驻点
令一阶偏导数为零：f_x = e^{-x}(-x+y^2-1+1)=0，f_y = 2y e^{-x}=0。解得 y=0，代入 f_x=0 得 x=0，故驻点为 (0,0)。
公式：f_x = e^{-x}(-x+y^2-1+1)=0, f_y = 2y e^{-x}=0
提示：注意 e^{-x} 恒不为零，可直接约去。
步骤 2/3
目标：求二阶偏导
计算二阶偏导：f_{xx}=e^{-x}(x-2)，f_{yy}=2e^{-x}，f_{xy}=-2y e^{-x}。在 (0,0) 处，A=f_{xx}(0,0)=-2，B=f_{xy}(0,0)=0，C=f_{yy}(0,0)=2。
公式：f_{xx}=e^{-x}(x-2), f_{yy}=2e^{-x}, f_{xy}=-2y e^{-x}
提示：注意求导时不要漏项。
步骤 3/3
目标：判别极值
计算判别式 AC-B^2 = (-2)*2 - 0^2 = -4 < 0，故 (0,0) 不是极值点。函数无其他驻点，且当 y 固定，x→+∞ 时 f→0，x→-∞ 时 f→+∞，因此函数没有极值。
公式：AC-B^2 = -4 < 0
提示：AC-B^2<0 时不是极值点，需结合边界或无穷远行为判断整体极值。
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