kaoyan1basic 高等数学 第41题
📝 题目
### 【强化篇】第41题（选择题） 41．已知 $\displaystyle F(a, b)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(a \sin x-\sin ^{2} x+b\right)^{2} \cos x \mathrm{~d} x$ ，则使得 $F(a, b)$ 取得最小值的 $a, b$ 分别为 ）． （A） $\displaystyle 1, \frac{1}{6}$ （B） $\displaystyle 1,-\frac{1}{6}$ （C）$\displaystyle -1, \frac{1}{6}$ （D）$\displaystyle -1,-\frac{1}{6}$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：令$t=\sin x$，则$\cos x dx = dt$，$\displaystyle x\in[0,\frac{\pi}{2}]$对应$t\in[0,1]$，$F(a,b)=\int_0^1 (a t - t^2 + b)^2 dt$。 步骤2：展开被积函数，求$F$关于$a,b$的偏导并令为零： $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial a}=2\int_0^1 t(a t - t^2 + b)dt=0$，$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial b}=2\int_0^1 (a t - t^2 + b)dt=0$。 步骤3：计算积分得方程组：$\displaystyle \frac{a}{3}-\frac{1}{4}+\frac{b}{2}=0$，$\displaystyle \frac{a}{2}-\frac{1}{3}+b=0$，解得$a=1$，$\displaystyle b=-\frac{1}{6}$。 **难度**：★★★☆☆