kaoyan1basic 高等数学 第46题
📝 题目
### 【强化篇】第46题（解答题） 46．设函数 $u(x, y)$ 的全微分 $\mathrm{d} u=\left[\mathrm{e}^{r}+f^{\prime}(x)\right] y \mathrm{~d} x+f^{\prime}(x) \mathrm{d} y$ ，其中 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有二阶连续的导数，且 $f(0)=4, f^{\prime}(0)=3$ ，求 $f(x)$ ．
💡 答案解析
**答案**：$f(x)=e^x+2x+3$ **解析**： 步骤1：由全微分条件，$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=[e^x+f'(x)]y$，$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=f'(x)$。 步骤2：混合偏导相等：$\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=e^x+f'(x)$，$\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}=f''(x)$，故$e^x+f'(x)=f''(x)$。 步骤3：解微分方程$f''-f'=e^x$，齐次解$f_h=C_1+C_2 e^x$，特解设为$A x e^x$，代入得$A=1$，故$f(x)=C_1+C_2 e^x+x e^x$。 步骤4：由$f(0)=4$得$C_1+C_2=4$，由$f'(0)=3$得$C_2+1=3$，解得$C_2=2$，$C_1=2$。故$f(x)=2+2e^x+x e^x$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别全微分条件，写出偏导数表达式
由全微分 du = P dx + Q dy，其中 P = [e^x + f'(x)] y，Q = f'(x)。因此 ∂u/∂x = P，∂u/∂y = Q。
公式：du = P dx + Q dy ⇒ ∂u/∂x = P, ∂u/∂y = Q
提示：全微分中 dx 和 dy 的系数分别对应偏导数。
步骤 2/4
目标：利用混合偏导数相等建立方程
计算 ∂²u/∂x∂y = ∂P/∂y = e^x + f'(x)，∂²u/∂y∂x = ∂Q/∂x = f''(x)。由混合偏导相等得 e^x + f'(x) = f''(x)。
公式：∂²u/∂x∂y = ∂²u/∂y∂x ⇒ e^x + f'(x) = f''(x)
提示：注意 f(x) 二阶连续可导，混合偏导相等。
步骤 3/4
目标：解二阶常系数线性微分方程
方程 f'' - f' = e^x。齐次方程 f'' - f' = 0 的特征方程 r² - r = 0，根 r=0,1，齐次解 f_h = C₁ + C₂ e^x。非齐次项 e^x 是齐次解的一部分，设特解 f_p = A x e^x，代入得 A=1，故通解 f(x) = C₁ + C₂ e^x + x e^x。
公式：f'' - f' = e^x，齐次解 C₁ + C₂ e^x，特解 x e^x
提示：非齐次项与齐次解重叠时，特解需乘以 x。
步骤 4/4
目标：利用初始条件确定常数
由 f(0)=4 得 C₁ + C₂ = 4；由 f'(x) = C₂ e^x + e^x + x e^x，f'(0)=3 得 C₂ + 1 = 3 ⇒ C₂=2，代入得 C₁=2。故 f(x) = 2 + 2e^x + x e^x。
公式：f(0)=4, f'(0)=3
提示：注意求导时不要漏项。
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