kaoyan1basic 高等数学 第45题
📝 题目
### 【强化篇】第45题（解答题） 45．设 $z=z(x, y)$ 二阶偏导数连续，且 $\left\{\begin{array}{l}u=x+a y, \\ v=x+b y\end{array}(a
💡 答案解析
**答案**：(1) $a=1, b=3$；(2) $z(x,y)=\sin(x+y)$ **解析**： 步骤1：由变换$u=x+ay$，$v=x+by$，计算偏导：$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=z_u+z_v$，$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=a z_u+b z_v$。 步骤2：二阶偏导：$\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=z_{uu}+2z_{uv}+z_{vv}$，$\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=a z_{uu}+(a+b)z_{uv}+b z_{vv}$，$\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=a^2 z_{uu}+2ab z_{uv}+b^2 z_{vv}$。 步骤3：代入方程$3z_{xx}-4z_{xy}+z_{yy}=0$得：$(3-4a+a^2)z_{uu}+(6-4(a+b)+2ab)z_{uv}+(3-4b+b^2)z_{vv}=0$。 步骤4：令$z_{uv}$系数为零且$z_{uu},z_{vv}$系数为零，解得$a=1,b=3$（满足$a
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算一阶偏导数
由变换 u = x + a y, v = x + b y，利用链式法则：∂z/∂x = ∂z/∂u * ∂u/∂x + ∂z/∂v * ∂v/∂x = z_u + z_v；∂z/∂y = ∂z/∂u * ∂u/∂y + ∂z/∂v * ∂v/∂y = a z_u + b z_v。
公式：∂z/∂x = z_u + z_v, ∂z/∂y = a z_u + b z_v
提示：注意链式法则中每个中间变量的偏导
步骤 2/6
目标：计算二阶偏导数
对一阶偏导再次求导：∂²z/∂x² = (∂/∂x)(z_u+z_v) = z_uu + 2z_uv + z_vv；∂²z/∂x∂y = (∂/∂y)(z_u+z_v) = a z_uu + (a+b)z_uv + b z_vv；∂²z/∂y² = (∂/∂y)(a z_u+b z_v) = a² z_uu + 2ab z_uv + b² z_vv。
公式：∂²z/∂x² = z_uu+2z_uv+z_vv, ∂²z/∂x∂y = a z_uu+(a+b)z_uv+b z_vv, ∂²z/∂y² = a² z_uu+2ab z_uv+b² z_vv
提示：注意交叉项系数
步骤 3/6
目标：代入原方程并化简
将二阶偏导代入方程 3z_xx - 4z_xy + z_yy = 0，得：(3-4a+a²)z_uu + (6-4(a+b)+2ab)z_uv + (3-4b+b²)z_vv = 0。
公式：3z_xx - 4z_xy + z_yy = (3-4a+a²)z_uu + (6-4(a+b)+2ab)z_uv + (3-4b+b²)z_vv = 0
提示：合并同类项
步骤 4/6
目标：确定a和b的值
为使方程化为 ∂²z/∂u∂v = 0，需令 z_uu 和 z_vv 系数为零，z_uv 系数非零。解方程组：3-4a+a²=0 且 3-4b+b²=0，得 a=1或3，b=1或3。由 a
公式：a=1, b=3
提示：注意条件 a
步骤 5/6
目标：求解简化后的方程
方程 ∂²z/∂u∂v = 0 的通解为 z = φ(u) + ψ(v)，其中 φ, ψ 为任意二次可微函数。代回 u=x+y, v=x+3y，得 z = φ(x+y) + ψ(x+3y)。
公式：z = φ(x+y) + ψ(x+3y)
提示：积分两次得到通解形式
步骤 6/6
目标：利用初始条件确定函数形式
由 z(x,0)=sin x 得 φ(x)+ψ(x)=sin x。由 z_y(x,0)=0 得 φ'(x)+3ψ'(x)=0。对第二式积分得 φ(x)+3ψ(x)=C（常数）。联立解得 φ(x) = (3/2)sin x - C/2, ψ(x) = - (1/2)sin x + C/2。代入得 z(x,y) = (3/2)sin(x+y) - (1/2)sin(x+3y)。
公式：z(x,y) = (3/2)sin(x+y) - (1/2)sin(x+3y)
提示：注意积分常数不影响最终结果
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