kaoyan1basic 高等数学 第44题
📝 题目
### 【强化篇】第44题（解答题） 44．已知 $f(u)$ 在 $(0,+\infty)$ 内有二阶连续导数，且 $\displaystyle z=f\left(\frac{y}{x}\right)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$ ．求 $f(u)$ 的表达式．
💡 答案解析
**答案**：$f(u)=C_1\ln|u+\sqrt{1+u^2}|+C_2$ **解析**： 步骤1：令$\displaystyle u=\frac{y}{x}$，则$z=f(u)$，计算偏导：$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=f'(u)\cdot(-\frac{y}{x^2})$，$\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=f''(u)\cdot\frac{y^2}{x^4}+f'(u)\cdot\frac{2y}{x^3}$；$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=f'(u)\cdot\frac{1}{x}$，$\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=f''(u)\cdot\frac{1}{x^2}$。 步骤2：代入方程$\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0$得：$\displaystyle f''(u)\cdot\frac{y^2}{x^4}+f'(u)\cdot\frac{2y}{x^3}+f''(u)\cdot\frac{1}{x^2}=0$，乘以$x^4$得$f''(u)(y^2+x^2)+2x y f'(u)=0$，即$f''(u)(1+u^2)+2u f'(u)=0$。 步骤3：解微分方程，令$p=f'(u)$，则$\displaystyle \frac{dp}{du}(1+u^2)+2u p=0$，即$\displaystyle \frac{dp}{p}=-\frac{2u}{1+u^2}du$，积分得$\ln|p|=-\ln(1+u^2)+C$，$\displaystyle p=\frac{C_1}{1+u^2}$。再积分得$f(u)=C_1\arctan u + C_2$。 **难度**：★★★★☆