kaoyan1basic 高等数学 第43题
📝 题目
### 【强化篇】第43题（选择题） 43．已知函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，$f(1,1)=1$ 是 $f(x, y)$ 的极值，且 $z=f[x y$ ， $f(x, y)]$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)}=$ ． （A）$f_{u u}^{\prime \prime}(1,1)+f_{v v}^{\prime \prime}(1,1)$ （B） $2 f_{u v}^{\prime \prime}(1,1)$ （C） 0 （D）$f_{\text {tue }}^{\prime \prime}(1,1)$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$z=f[xy, f(x,y)]$，记$u=xy$，$v=f(x,y)$，则$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=f_u \cdot y + f_v \cdot f_x$。 步骤2：$\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=f_u + y(f_{uu}\cdot x + f_{uv}\cdot f_y) + f_v \cdot f_{xy} + f_x(f_{vu}\cdot x + f_{vv}\cdot f_y)$。 步骤3：在$(1,1)$处，$f(1,1)=1$是极值，故$f_x(1,1)=f_y(1,1)=0$，且$u=1$，$v=1$，代入得$\displaystyle \left.\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)}=f_u(1,1)$。但$f_u(1,1)=?$由极值条件，一阶偏导为零，但$f_u$是偏导函数值，无法确定，需进一步分析。实际上，由于$f_x(1,1)=0$，$f_y(1,1)=0$，代入后所有含$f_x,f_y$项为零，剩下$f_u$项，而$f_u(1,1)$不一定为零，但题目选项无此，需重新检查。 步骤4：正确计算得$\displaystyle \left.\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)}=f_u(1,1)+f_v(1,1)\cdot f_{xy}(1,1)$。由极值条件，$f_u(1,1)$是$f$对第一个变量的偏导，但$f$在$(1,1)$处极值，$f_u(1,1)=0$？注意$f(u,v)$中$u,v$是自变量，极值点处$f_u=f_v=0$，故$f_u(1,1)=0$，$f_v(1,1)=0$，因此结果为0。 **难度**：★★★★☆