kaoyan1basic 高等数学 第48题
📝 题目
### 【强化篇】第48题（选择题） 48．设函数 $z_{1}=x^{3}+y^{2}$ 与 $z_{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}$ ，易知有驻点 $(0,0)$ ，则在该点处（ ）。 （A）函数 $z_{1}=x^{3}+y^{2}$ 有极小值，而函数 $z_{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}$ 无极值 （B）函数 $z_{1}=x^{3}+y^{2}$ 无极值，而函数 $z_{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}$ 有极小值 （C）上述两个函数都有极值 （D）上述两个函数都无极值
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$z_1=x^3+y^2$，驻点$(0,0)$，$z_{1x}=3x^2$，$z_{1y}=2y$，二阶偏导$A=6x$，$B=0$，$C=2$，在$(0,0)$处$A=0$，$AC-B^2=0$，需用定义。沿$y=0$，$z_1=x^3$变号；沿$x=0$，$z_1=y^2\geq0$，故不是极值。 步骤2：$z_2=(x^2+y^2)^2$，驻点$(0,0)$，$z_2\geq0$且仅在$(0,0)$处为零，故有极小值0。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：判断函数 z1 在 (0,0) 处是否有极值
计算 z1=x^3+y^2 的一阶偏导：z1x=3x^2, z1y=2y，驻点 (0,0) 满足。二阶偏导：A=z1xx=6x, B=z1xy=0, C=z1yy=2。在 (0,0) 处 A=0，AC-B^2=0，无法用充分条件，改用定义。沿 y=0 路径，z1=x^3，在 x=0 附近变号；沿 x=0 路径，z1=y^2≥0。因此 (0,0) 不是极值点。
公式：A=z_{xx}, B=z_{xy}, C=z_{yy}
提示：当 AC-B^2=0 时，需用定义判断极值，通常取特殊路径观察函数值变化。
步骤 2/2
目标：判断函数 z2 在 (0,0) 处是否有极值
z2=(x^2+y^2)^2，显然 z2≥0 且仅在 (0,0) 处等于0，故 (0,0) 是极小值点，极小值为0。
公式：z_2 = (x^2+y^2)^2
提示：利用非负性直接判断极值。
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