kaoyan1basic 高等数学 第49题
📝 题目
### 【强化篇】第49题（解答题） 49．设函数 $u=u(x, y)$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid 2 x^{2}+3 y^{2} \leqslant 4\right\}$ 上连续，在区域 $D$ 的内部有二阶连续偏导数，且满足 $\displaystyle -2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-3 \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=u^{2}$ 。在区域 $D$ 的边界 $2 x^{2}+3 y^{2}=4$ 上 $u(x, y) \geqslant 0$ 。
证明：当 $2 x^{2}+3 y^{2} \leqslant 4$ 时，$u(x, y) \geqslant 0$ ．
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：假设存在点$(x_0,y_0)\in D$使得$u(x_0,y_0)<0$，则$u$在$D$上有最小值，且最小值点必在$D$内部（边界上$u\geq0$）。 步骤2：设最小值点为$P$，则在该点$u<0$，且$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}=0$，$\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\geq0$，$\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\geq0$（二阶条件）。 步骤3：代入方程$-2u_{xx}-3u_{yy}=u^2$，左边$\leq0$，右边$>0$，矛盾。故假设不成立，$u(x,y)\geq0$。 **难度**：★★★★☆