kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 【基础篇】第1题（选择题） 1．设 $x \geqslant 0, y \geqslant 0$ ，曲线 $l_{1}: x^{2}+y^{2}-x y=1, l_{2}: x^{2}+y^{2}-x y=2$ ，直线 $\displaystyle l_{3}: y=\frac{\sqrt{3}}{3} x, l_{4}: y=\sqrt{3} x$ ．区域 $D_{1}$ 由 $l_{1}, l_{2}, x=0, y=0$ 围成，$D_{2}$ 由 $l_{1}, l_{2}, l_{3}, y=0$ 围成，$D_{3}$ 由 $l_{1}, l_{2}, l_{4}, x=0$ 围成，则对于 $I_{1}=\iint_{D_{i}} \sqrt[3]{y-x} \mathrm{~d} \sigma(i=1,2,3)$ ，有 ． （A）$I_{1}
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：区域$D_1$由$x=0,y=0$及两曲线围成，$D_2$由$y=0$及$l_3$和两曲线围成，$D_3$由$x=0$及$l_4$和两曲线围成。 步骤2：被积函数$\sqrt[3]{y-x}$，在$y=x$处为零，$y>x$时为正，$y
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析区域D1、D2、D3的边界和范围
区域D1由曲线l1、l2以及坐标轴x=0、y=0围成，位于第一象限；D2由l1、l2、直线l3: y=(√3/3)x和y=0围成，位于直线l3下方、x轴上方；D3由l1、l2、直线l4: y=√3 x和x=0围成，位于直线l4上方、y轴右侧。
提示：注意各区域的边界线，明确积分区域的位置。
步骤 2/4
目标：分析被积函数f(x,y)=∛(y-x)的符号
f(x,y)在y=x处为零；当y>x时为正，当y
公式：f(x,y) = \sqrt[3]{y-x}
提示：被积函数的符号对积分值有决定性影响。
步骤 3/4
目标：比较三个区域中y-x的符号分布
在D1中，由于曲线对称，既有y>x的区域也有y0），所以y1，所以y>x恒成立，f恒为正，积分I3为正。因此I3最大，I2最小，I1介于两者之间。但注意：D1中既有正也有负，积分值可能为正也可能为负，需要具体分析。实际上，由于对称性，D1中y>x和y
提示：注意直线斜率与1的比较，判断y-x的符号。
步骤 4/4
目标：得出结论
由以上分析，I2最小，I1居中，I3最大，即I2 < I1 < I3，对应选项D。
提示：比较积分大小时，符号是关键。
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