kaoyan1basic 高等数学 第52题
📝 题目
### 【强化篇】第52题（解答题） 52．求二元函数 $f(x, y)=y\left(x^{2}+y^{2}+\sqrt{2} x-2\right)$ 在闭区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 3\right\}$ 上的最大值与最小值．
## 第14章 二重积分
💡 答案解析
**答案**：最大值为$2\sqrt{2}$，最小值为$\displaystyle -\frac{9}{4}$ **解析**： 步骤1：求内部驻点。$f_x=y(2x+\sqrt{2})=0$，$f_y=x^2+3y^2+\sqrt{2}x-2=0$，解得驻点$\displaystyle (0,\pm\sqrt{\frac{2}{3}})$，$\displaystyle (-\frac{\sqrt{2}}{2},0)$等。 步骤2：计算函数值：$\displaystyle f(0,\sqrt{\frac{2}{3}})=-\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}$，$\displaystyle f(0,-\sqrt{\frac{2}{3}})=\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}$，$\displaystyle f(-\frac{\sqrt{2}}{2},0)=0$。 步骤3：边界$x^2+y^2=3$，代入$f$得$f=y(3+\sqrt{2}x)$，用拉格朗日乘数法或三角代换，求最值。令$x=\sqrt{3}\cos\theta$，$y=\sqrt{3}\sin\theta$，则$f=\sqrt{3}\sin\theta(3+\sqrt{6}\cos\theta)$，求导得极值点，计算得最大值$2\sqrt{2}$，最小值$\displaystyle -\frac{9}{4}$。 **难度**：★★★★☆