kaoyan1basic 高等数学 第51题

**答案**：$a=2, b=2$ **解析**： 步骤1：$L_1: x^2+(y-1)^2=1$，圆心$(0,1)$，半径$1$。$\displaystyle L_2: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。 步骤2：内切条件：$L_1$在$L_2$内部且相切。由对称性，切点可能在$y$轴上，设切点$(0,2)$（$L_1$最高点），代入$L_2$得$\displaystyle \frac{4}{b^2}=1$，$b=2$。 步骤3：$L_1$与$L_2$在$(0,2)$处相切，切线水平，$L_2$在$(0,2)$处切线水平，满足。$L_1$最左点$(-1,1)$应在$L_2$内，代入得$\displaystyle \frac{1}{a^2}+\frac{1}{4}\leq1$，$\displaystyle a^2\geq\frac{4}{3}$。 步骤4：面积$S=\pi a b=2\pi a$，最小需$a$最小，由内切条件，$L_1$与$L_2$在$x$方向也应相切？实际上，$L_1$左右端点$(\pm1,1)$，代入$L_2$得$\displaystyle \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，结合$b=2$得$\displaystyle a=\frac{2}{\sqrt{3}}$，但此时$L_1$是否完全内切？检查得$\displaystyle a=\frac{2}{\sqrt{3}},b=2$时面积最小。 **难度**：★★★★☆