kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
### 【基础篇】第2题（选择题） 2． $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0} \frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant r^{2}} \mathrm{e}^{x^{2}-y^{2}} \cos (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ ）． （A） 0 （B） 1 （C）$\pi r^{2}$ （D）$\displaystyle \frac{1}{\pi r^{2}}$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：由二重积分中值定理，存在点$(\xi,\eta)\in D$使得 $$ \iint_{x^2+y^2\leq r^2} e^{x^2-y^2}\cos(x+y)\,dxdy = e^{\xi^2-\eta^2}\cos(\xi+\eta)\cdot \pi r^2. $$ 步骤2：当$r\to0$时，$(\xi,\eta)\to(0,0)$，故极限为 $$ \lim_{r\to0}\frac{1}{\pi r^2}\cdot e^{\xi^2-\eta^2}\cos(\xi+\eta)\cdot\pi r^2 = e^{0}\cos0 = 1. $$ **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：应用二重积分中值定理
由二重积分中值定理，存在点(ξ,η)∈D使得∬_{x^2+y^2≤r^2} e^{x^2-y^2} cos(x+y) dxdy = e^{ξ^2-η^2} cos(ξ+η) · πr^2。
公式：∬_D f(x,y) dσ = f(ξ,η) · S(D)
提示：注意积分区域是圆盘，面积为πr^2。
步骤 2/2
目标：求极限
当r→0时，(ξ,η)→(0,0)，所以原极限 = lim_{r→0} (1/(πr^2)) · e^{ξ^2-η^2} cos(ξ+η) · πr^2 = e^0 cos0 = 1。
公式：lim_{r→0} (1/(πr^2)) · f(ξ,η) · πr^2 = f(0,0)
提示：利用连续性，极限值等于函数在(0,0)处的值。
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